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重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上第三学月测试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则x的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，解得，
则x的取值范围为.
故选：A.
2.已知都是实数，则下列命题中，真命题是（）
A.若，则． B.若，则．
C.若，则． D.若，则．
【答案】D
【解析】
【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D.
【详解】对于A，若时，不成立，故A错误；
对于B，若时，不成立，故B错误；
对于C，若时，无意义，不成立，故C错误；
对于D，因为，所以，所以成立，故D正确.
故选：D
3.当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过定义的运算符号，以两个命题分别为条件去验证结论是否成立，分别得到是否满足充分性和必要性.
【详解】充分性：当，或，时，，则，充分性成立；
必要性：当时，显然当时，，当时，，均不符合题意，
当时，，则，当时，，则，必要性成立；
所以“，或，”是“”的充分必要条件．
故选：C.
4.已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）
A.5 B.7 C.13 D.15
【答案】C
【解析】
【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.
【详解】已知集合，
“孤立元”为1的集合为，，，；
“孤立元”为2的集合为，；
“孤立元”为3的集合为；
“孤立元”为4的集合为，；
“孤立元”为5的集合为，，，；
综上，满足题意的集合有13个.
故选：C.
5.已知正数、满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数运算可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，即，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
6.对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】设为奇函数，且当时，，
则时，，
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由有解得：
.
故选：A
7.已知函数那么不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析讨论解不等式，结合函数图象即可得解.
【详解】若，
当时，；当时，；
当，令，整理可得，
且，可得，即，
分别作出y=fx和的图象，
结合图象可知不等式的解集为0,4.
故选：C.
8.设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（）
A.①是真命题，②是假命题 B.两个都是真命题
C.①是假命题，②是真命题 D.两个都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】用反证法判断命题①，用反例判断命题②．
【详解】①若y=fx是周期函数，设是它的正周期，即，
假设函数y=fx不是常值函数，设，且，又恒成立，因此，
取，其中是不大于的最大整数，则，
而，
所以，这是是减函数矛盾，所以不成立，
所以，即是常值函数，①是真命题；
②取，，则对任意的，，，满足，
但是减函数，②是假命题．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.下列命题中正确的是（???）
A.若，，，则的最大值为
B.已知，，，则的最小值是
C.若，则的最小值为4
D.若，，，则的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D.
【详解】对于A，，解得，平方得，
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