湖北省部分普通高中2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案解析）.docx

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湖北省部分普通高中2025届高三上学期12月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则的共轭复数（???）

A． B． C． D．

3．“”的一个充分不必要条件是（???）

A． B． C． D．

4．已知三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（???）

A．96 B．98 C．100 D．102

5．在中，内角所对的边分别为，已知，则（???）

A． B． C． D．

6．已知，则的大小关系是（???）

A． B． C． D．

7．已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（???）

A． B． C． D．

8．记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

9．已知平面向量，则（???）

A． B．

C．与的夹角是 D．在上的投影向量是

10．如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（???）

A．

B．

C．点到平面的距离为

D．三棱锥的外接球体积为

11．已知函数，则下列说法错误的是（???）

A．的图象关于直线对称

B．存在，使得为奇函数

C．当时，，使得

D．当时，的最小值为

三、填空题

12．已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则．

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率．

14．对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为．

四、解答题

15．记为数列的前项和，已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最大值．

16．如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，平面，四边形是边长为4的正方形.

????

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

17．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为．

(1)求的方程．

(2)过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18．已知函数．

(1)记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，；

(2)若当时，，求实数的最大整数值．

19．16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.

积化和差：，．

和差化积：，．

运用上面的公式解决下列问题：

(1)证明：；

(2)若，证明：；

(3)若函数，判断的零点个数，并说明理由．

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《湖北省部分普通高中2025届高三上学期12月联考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

D

D

B

C

A

C

ACD

AC

题号

11

答案

BCD

1．B

【分析】用列举法表示集合，解不等式化简集合，再求出交集.

【详解】依题意，，或，

所以.

故选：B

2．A

【分析】利用复数的除法运算求出，进而求得.

【详解】依题意，，

所以.

故选：A

3．D

【分析】根据给定条件，求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.

【详解】，而函数在上单调递增，

当时，，因此，解得，

选项中只有是的真子集，

所以“”的一个充分不必要条件是.

故选：D

4．D

【分析】设出点的坐标，利用同角公式及正弦函数性质求出答案.

【详解】由点在圆上运动，设，

所以

，显然的最大值、最小值分别为57和45，

所以的最大值与最小值之和为102.

故选：D

5．B

【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.

【详解】在中，由正弦定理得，

则，

而，因此，

所以.

故选：B

6．C

【分析】利用不等式，放缩法可比较数的大小.

【详解】当时，有，

则，所以，

所以，所以.

故选：C.

7．A

【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案.

【详解】由，得函数的定义域为R，

又，即函数是奇函数，

函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，

由，得函数的图象关于点对称，

因此函数的图象