2025年泰勒公式开题报告.pdfVIP

先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹

泰勒公式开题报告

君子忧道不忧贫。——孔丘

学号：2009211307

本科生毕业论文（设计）

开题报告

题目：泰勒公式及其应用

院（系）数学系

专业班级数学与应用数学09级2班

学生姓名王瑜

指导教师（职称）胡纪华（副教授）

提交时间2013年1月

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》

研究综述（前人的研究现状及进展情况,应不少

于1000字）：

在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有

限差分法。1715年泰勒出版了《增量法及其逆》

一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的

名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他

是通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得

到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给

出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级

数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来

拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基

础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰

勒也已函数的泰勒展开而闻名于后世。

数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要

选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰

勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并

且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积

分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地

位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研

究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代

数中的应用，还在研究中。

国内外同类课题研究现状及发展趋势：

泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者

来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

研究内容（应不少于800字）：

题目的叙述：

介绍泰勒公式及其几个常见函数的展开式，

针对泰勒公式的应用讨论了6个问题利用泰勒

公式求极限，利用泰勒公式证明不等式，利用泰

勒公式证明中值公式，利用泰勒公式判断某些级

数的敛散性，利用泰勒公式求某些微分方程的

解，泰勒公式在近似计算中的应用。

问题一：利用泰勒公式求极限

对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一

些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多

项式或有理分式的极限问题。满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限：

用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁；

（1）

分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代

形式；

（2）

所遇到