微分几何练习题库及参考答案已修改 完整版2025.pdfVIP

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

微分⼏何练习题库及参考答案已修改

《微分⼏何》复习题与参考答案

⼀、填空题

1．极限232lim[(31)ijk]ttt→+-+=rrr138ijk-+rrr．2．设f()(sin)ijttt=+rrr，2g()(1)ijttte=++rr，求0

lim(()())tftgt→?=rr0．3．已知{}4

2r()d=1,2,3tt-?r，{}64

r()d=2,1,2tt-?r，{}2,1,1a=r，{}1,1,0b=-r，则4622()()artdt+bartdt=rrrrr{}3,9,5-.

4．已知()rta=rr（ar为常向量），则()rt=rtac+rr．

5．已知()rtta=rr，（ar为常向量），则()rt=r212

tac+rr．6.最“贴近”空间曲线的直线和平⾯分别是该曲线的___切线___和密切平⾯____.

7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.

8.挠率恒等于零的曲线是_____平⾯曲线________.

9.切线（副法线）和固定⽅向成固定⾓的曲线称为⼀般螺线.10.曲线()rrt=rr在t=2处有3αβ=vv，则曲线在t=2处的曲率

k=3.

11.若在点00(,)uv处v0urr?≠rrr，则00(,)uv为曲⾯的_正常______点.

12．已知()(2)(ln)fttjtk=++rrr，()(sin)(cos)gttitj=-rrr，0t，则

4

()dfgdtdt?=?rr4cos62-．13．曲线{}3()2,,trttte=r在任意点的切向量为{}22,3,tte．14．曲线{}()cosh,sinh,rtatatat

=r在0t=点的切向量为{}0,,aa．

15．曲线{}()cos,sin,rtatatbt=r在0t=点的切向量为{}0,,ab．

16．设曲线2:,,ttCxeyezt-===，当1t=时的切线⽅程为2111

-=--

=-zeeyeex．17．设曲线tttezteytex===,sin,cos，当0t=时的切线⽅程为11-==-zyx.

18.曲⾯的曲纹坐标⽹是曲率线⽹的充要条件是____F=M=0_______________.

19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分⽅程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.

20.在欧拉公式2212cossinnkkkθθ=+中，θ是⽅向(d)与u－曲线的夹⾓.

21.曲⾯的三个基本形式,,IIIIII、⾼斯曲率K、平均曲率H之间的关系是20HKIII-II+I=.

22．已知{}r(,),,uvuvuvuv=+-r，其中2,sinutvt==，则

drdt=r{}2cos,2cos,2costtttvtut+-+．23．已知{}r(,)coscos,cossin,sinaaa?θ?θ?θ?=r，其中t=?，2t=θ，则dr(,)dt

θ=r{}sincos2cossin,sinsin2coscos,cosaataata?θ?θ?θ?θ?+．24．设(,)rruv=rr为曲⾯的参数表⽰，如果0uvrr

≠rrr，则称参数曲⾯是正则的；如果:()rGrG→rr是⼀⼀对应的，则称曲⾯是简单曲⾯．

25．如果u-曲线族和v-曲线族处处不相切，则称相应的坐标⽹为正规坐标⽹．

26．平⾯{}r(,),,0uvuv=r的第⼀基本形式为22dduv+，⾯积微元为dduv．

27．悬链⾯{}r(,)coshcos,coshsin,uvuvuvu=r第⼀基本量是

22cosh0,coshEuFGu===，．

28．曲⾯zaxy=上坐标