2025年北师大版中考数学总复习第二十四讲菱形、矩形、正方形.docx

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第二十四讲菱形、矩形、正方形

【A层·基础过关】

1.(2024·广州模拟)如图,正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边,菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P,则∠PBC的度数是(A)

A.22.5° B.45° C.25° D.67.5°

2.(2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)

A.6 B.5 C.4 D.3

3.(2024·绥化)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(A)

A.245 B.6 C.485 D

4.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方形APCD,正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP为(B)

A.2α B.90°-α

C.45°+α D.90°-12

5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,AC·EF的值为(D)

A.10 B.910 C.15 D.30

6.(2024·呼伦贝尔)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.

(1)求证:四边形ABEF是菱形:

(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,即AF∥BE,

∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,

∵O为BF的中点,

∴BO=FO,

∴△AOF≌△EOB(AAS),

∴BE=FA,

∵AF∥BE,

∴四边形ABEF是平行四边形,

又∵AB=AF,

∴四边形ABEF是菱形.

(2)∵AD=BC,AF=BE,

∴DF=CE=1,

∵平行四边形ABCD的周长为22,

∴菱形ABEF的周长为22-2=20,

∴AB=20÷4=5,

∵四边形ABEF是菱形,

∴∠BAE=12∠BAD=1

又∵AB=AE,

∴△ABE是等边三角形,

∵AE=AB=5.

【B层·能力提升】

7.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为(B)

A.9+23 B.9+3 C.7+23 D.8

8.(2024·苏州)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动,过点E,F作直线l,过点A作直线l的垂线,垂足为G,则AG的最大值为(D)

A.3 B.32 C.2 D.

9.(2024·重庆)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为(D)

A.2 B.5 C.6 D.12

10.(2024·广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为(C)

A.1 B.2 C.5 D.10

11.(2024·牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12cm,CD=10cm,他进行了如下操作:

第一步,如图①,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.

第二步,如图②,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△ADN,AD交折痕MN于点E,则线段EN的长为(B)

A.8cm B.16924cm C.16724cm D.

12.(2024·常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是(-2,-1).?

13.(2024·包头)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为27.?

【C层·素养挑战】

14.如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连接AE,∠DAE的平分线AG与CD边交于点G,与BC的延长线交于点F.设CEEB=λ(λ0)

(1)若AB=2,λ=1,求线段CF的长;

(2)连接EG,若EG⊥AF,

①求证:点G为CD边的中点;

②求λ的值.