专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docx

专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1导数的定义及其应用】 2

【题型2求（复合）函数的导数的方法】 3

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5

【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 6

【题型5已知切线（斜率）求参数】 8

【题型6切线的条数问题】 9

【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 11

【题型8与切线有关的最值问题】 13

1、导数的几何意义与运算

导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f(x0)(x-x0)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2复合函数的导数】

1.复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函

数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).

2.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y

对u的导数与u对x的导数的乘积.

3.求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代：把中间变量代回.

【题型1导数的定义及其应用】

【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2-Δx)Δx=-2，则f-2=（

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.

【解答过程】lim

=lim

所以f

故选：B.

【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0-2Δx)-f(

A．12 B．-1 C．0

【解题思路】根据导数定义，即可求出．

【解答过程】因为limΔx→0

所以f

故选：B.

【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是Vt

A． B．

C． D．

【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.

【解答过程】通过几何体的特征可得，

容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；

容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；

即函数图象的切线斜率先增大后减小，

故选：A.

【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fx

A．fx=a B．fx=b

【解题思路】由导函数的定义可得选项.

【解答过程】解：因为fx0+

故选：C.

【题型2求（复合）函数的导数的方法】

【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log21

A．f(x)=ln2x B．f

【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.

【解答过程】依题知，1x0，即

由求导公式：loga

复合函数的求导法则：设u=gx，则

得：f

故选：D.

【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（???）

A．(3x)

C．cosxx

【解题思路】根据求导运算法则得到答案.

【解答过程】A选项，(3

B选项，x2

C选项，cosx

D选项，2ln

故选：C.

【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f(π4)cos

A．26 B．24 C．22

【解题思路】对fx求导，将x=π4

【解答过程】由已知可得f

所以fπ

故选：A.

【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函