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北大附中高二数学试卷

一、选择题

1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)=？

A.3x^2-3

B.3x^2-2

C.3x^2+3

D.3x^2+2

2.若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10=？

A.19

B.20

C.21

D.22

3.在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标为？

A.(-2,3)

B.(2,-3)

C.(-2,-3)

D.(2,3)

4.已知复数z=3+4i，则|z|=？

A.5

B.7

C.9

D.11

5.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是？

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

6.若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项a5=？

A.162

B.243

C.216

D.192

7.在平面直角坐标系中，若点A(1,2)关于直线x+y=1的对称点为B，则B点坐标为？

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(2,0)

D.(0,2)

8.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)的对称轴为x=3/4，则f(1)的值为？

A.-1

B.0

C.1

D.2

9.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=？

A.90°

B.120°

C.30°

D.45°

10.已知复数z=1-2i，若z在复平面上对应的点为P，则|OP|的值为？

A.√5

B.2√5

C.√10

D.2√10

二、判断题

1.函数y=log2(x)的定义域为(0,+∞)。（）

2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，d表示首项与第n项之间的公差。（）

3.在平面直角坐标系中，若两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)关于原点对称，则x1=-x2且y1=-y2。（）

4.复数z=3+4i的模长|z|等于其实部的平方加上虚部的平方的平方根。（）

5.在平面直角坐标系中，若一条直线与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，则该直线的斜率为-3/2。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=-1时取得极小值，则a的取值范围是______。

2.等差数列{an}的前n项和Sn=15n+10，则该数列的首项a1=______。

3.在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点逆时针旋转90°后得到的点坐标是______。

4.复数z=2-3i的共轭复数是______。

5.若直线y=mx+n与圆x^2+y^2=r^2相切，则m^2+n^2的值等于______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解的判别式Δ=b^2-4ac的意义，并说明当Δ0、Δ=0、Δ0时方程的解的情况。

2.说明等差数列和等比数列的通项公式及其求和公式的推导过程，并举例说明如何使用这些公式解决实际问题。

3.讨论直线y=kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点坐标，并说明如何根据这些坐标来判断直线的斜率k和截距b的符号。

4.阐述复数的基本运算（加法、减法、乘法、除法），并举例说明如何利用复数的几何意义来简化计算。

5.分析平面直角坐标系中，一个点P(x,y)到原点O(0,0)的距离公式d=√(x^2+y^2)的几何意义，并讨论如何利用这个公式来解决实际问题，例如计算两点间的距离。

五、计算题

1.计算下列一元二次方程的解：2x^2-4x-6=0。

2.已知等差数列{an}的首项a1=5，公差d=3，求第10项a10和前10项的和S10。

3.在平面直角坐标系中，点A(1,2)和B(4,5)的坐标，求直线AB的斜率和方程。

4.计算复数z=3+4i的模长|z|，并求其共轭复数。

5.已知直线y=2x-3与圆x^2+y^2=9相交，求交点坐标。

六、案例分析题

1.案例分析：

某班级学生参加数学竞赛，成绩分布呈现正态分布。已知平均分μ为80分，标准差σ为10分。请分析以下情况：

（1）求该班级学生成绩在70分至90分之间的概率；

（2）求该班级学生成绩低于60分或高于100分的概率；

（3）若该班级学生人数为100人，求成绩排名在前10%的学生人数。

2.案例分析：

某公司销售部门的数据显示，该公司销售员每月的销售额X服从正态分布，平均销售额μ