2025年北师大版中考数学总复习考点梳理第四单元　第二十讲　等腰三角形.docxVIP

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第二十讲等腰三角形

知识要点

1.等腰三角形

(1)定义:有__两边__相等的三角形?

(2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,__底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线__是它的对称轴?

②定理:(i)等腰三角形的两个底角__相等__(简称:__等边对等角__)?

(ii)等腰三角形顶角__平分线__、底边上的中线和底边上的__高__相互重合(简称“三线合一”)?

(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也__相等__(简写为“__等角对等边__”)?

对点练习

1.(1)已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则此三角形的周长为__20__cm.?

(2)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C)

A.70° B.45° C.35° D.50°

(3)

(教材再开发·人教八上P77练习T2改编)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD=__2__.?

知识要点

2.等边三角形

(1)定义:__三边__相等的三角形?

(2)性质:①等边三角形的三个内角都__相等__,并且每一个角都等于__60°__?

②等边三角形是轴对称图形,并且有__三__条对称轴?

(3)判定:①三个角都__相等__的三角形?

②有一个角是60°的__等腰__三角形

对点练习

2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5cm,则DC的长为?52__cm__

考点一等腰三角形的性质和判定

【例1】(1)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足2a-3b+5+(2a

A.8 B.6或8 C.7 D.7或8

(2)已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为__19或21或23__.?

【思路点拨】题目中的等腰三角形没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,且要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【例2】(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为__100°__.?

【例3】(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为__6或12__.?

【例4】如图,在△ABC中,ACABBC.

(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.

(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=

3∠B,求∠B的度数.

【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP,根据三角形的外角性质即可证得∠APC=2∠B;

(2)根据题意可知BA=BQ,根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA,再根据三角形的内角和公式即可解答.

【解析】(1)∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,

∴PA=PB,∴∠B=∠BAP,

∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.

(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA,

∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,

∴∠BQA=2∠B,

∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,

∴5∠B=180°,∴∠B=36°.

【例5】如图,在△ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,点F为BC的中点,连接EF,若BE=AC=2,则△CEF的周长为(C)

A.3+1 B.5+3 C.5+1 D.4

【方法小结】

1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.

2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用.

3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相等时可以减少证明全等的次数,提高做题效率.

考点二等边三角形的性质和判定

【例6】(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)

A.3 B.6 C.3 D.33

【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD,再根据∠BDC=60°得△BCD为等边三角形,然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.

【例7】(2023·甘肃)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)

A.20° B.25° C.30° D.35°

【例8】已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC