2025年探秘中国古建筑的数学密码 .pdfVIP

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

探秘中国古建筑的数学密码

在世界的历史长河中，就古建筑而言，最具有视觉美感的，毫无疑问是源远流长、绵

延不绝的中国古建筑。建筑的美学可以体现在方方面面，比如造型、规模、材料、色彩、

构造、细部雕琢等，在这些美学的原动力中，完全来源于人类智力活动的，唯有蕴含其中

的数学密码：形状、比例、尺寸等。古希腊数学家毕达哥拉斯说过：万物皆数，数支配着

宇宙；而大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及

宇宙星辰的认知。

从一幅古画说起

这是宋代著名画家和书法家、宋徽宗赵佶的作品《瑞鹤图》，描绘了汴梁宣德门外仙

鹤群舞的祥和气氛。除了仙鹤之外，画家采用工笔写实的画法、鸟瞰的视角，对建筑进行

了细致的描摹，渲染层次分明、配景丰富多彩。从建筑设计者角度来看，这可视为一幅加

盖红章的宋代建筑屋盖立面图。这幅画也被电视剧《大宋宫词》选作片头，展现了大宋建

筑的风格特点。

画中描绘的庑殿顶建筑中，曲线优美的青瓦屋面，尺度和谐的鸱尾吻兽、造型舒展的

飞檐斗栱，展示了中国古建筑特有的韵味。宋徽宗的瘦金体瘦硬刚劲、金钩铁划，揭示了

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

书法的本质结构。当代建筑制图的仿宋字正是滥觞于宋。我们就从这幅画体现出来的建筑

元素出发，来揭示蕴含其中的数学密码。

屋顶造型与最速降线

要全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，单从画作去了解是不够的，需要结合工程

营造的历史资料和现存的古建筑实物进行更深入的剖析。我们主要选取现存宋代建筑代表

作——晋祠圣母殿、宋代李诫（一说为李诚）所著的《营造法式》等古建资料作为研究对

象。

作为整个建筑冠冕的屋面，建筑造型艺术发挥得淋漓尽致。我们的研究着重分析两个

数据：屋面的圆心角A（°）、坡屋面高度半径H/半坡宽度W。

勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

以上是晋祠圣母殿和《营造法式》中四个典型的屋面剖面图。从图中可以看到，五个

屋面的圆心角分别为：29°、29°、30°、31°、34°，平均值为30.6°；H/W分别为：

0.533、0.579、0.587、0.583、0.607，平均值为：0.578。我对其它更多宫殿、厅堂的

实物和资料进行了统计，基本数据类似。因此可以得到古建筑中屋顶的第一个数学密码：

从檐口到屋脊，以圆弧拟合屋面曲线，得到圆心角基本在在30°±2°；第二个数学密码：

从檐口到屋脊，坡屋面高度半径H/半坡宽度W=0.57±0.3。这些数据表达了古人的审美

情趣，现代仿古建筑：包括庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶建筑，均宜参照这两个密码

营造。

从对屋顶曲线进行数学拟合时，却发现圆弧的拟合度并非最佳。那么什么曲线的拟合

度最好？经过对多个屋面曲线的模拟尝试，可以看出绿色的曲线是最佳的。这条曲线是摆

线或旋轮线，也叫最速降线，就是在起点与终点确定并且忽略阻力的情形下，物体下滑所

需时间最短的曲线。屋面除了审美需求，为了防止积水和渗漏，根本用途是期望能以最快

的速度排水。最速降线的理论，是在1696年才由牛顿、伯努利等欧洲的数学家们整明白

的，古代的中国工匠们不可能知晓，他们模拟的是圆弧，但是在配合举架的模数确定相关

以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》

尺寸时，恰好拟合成了最速降线。同时，屋面曲线在檐口处的切线基本水平，使水流排出

屋面后，以平抛的抛物线离开屋面，这不得不说又体现了工匠们的智慧。正是这种做法，

保证了屋面不积水并且能够把雨水排到最远，以便更好地保护房屋的基础（地盘）。

我们以拟合屋面的数学方程的方式，表达对古代营造者的敬意。最速降线的参数方程：

x=R(θ-sinθ),