山西省长治市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案解析）.docx

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山西省长治市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设，则（???）

A．4 B．2 C．1 D．0

2．知集合，，则（???）

A． B． C． D．

3．已知抛物线的焦点为F，若C的准线被以F为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（???）

A． B． C． D．．

4．已知角的终边在射线上，则（???）

A． B． C． D．

5．光明中学举办了一场“史地知识竞赛”，共设置了道历史题和道地理题.某参赛同学从所有题中随机抽取两道题作答，若该同学答对任意一道历史题的概率为，答对任意一道地理题的概率为，则该同学至少答对一道题的概率为（????）

A． B． C． D．

6．已知函数在区间单调递减，则a的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

8．在四个数中（????）

A．任意三个数不能同时等于0

B．任意两个数之和不等于另两个数之和

C．至少有一个数不大于3

D．至少有一个数不小于1

二、多选题

9．设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（???）

A． B． C． D．

10．在正方体中，分别为的中点，则过其中三个点的平面被正方体截得的截面可能是（????）

A．菱形 B．矩形 C．五边形 D．正六边形

11．已知函数，则（???）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，是的极值点

C．当时，曲线的对称中心在直线上

D．当时，的所有零点都小于0

三、填空题

12．记是等比数列的前n项和．若，，则．

13．某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出与之间有线性相关关系，并设其回归方程为.已知和分别表示第次降雨量（单位）和水位增长量（单位：cm），且.若某次降雨量为，据此估计水位增长量为.

14．已知双曲线的右焦点为F，点，．设P为C的右支上一动点，则的最小值为．

四、解答题

15．记的内角的对边分别为.已知.

(1)求；

(2)若的面积为，求的最小值.

16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若在底面上的射影恰好在线段上，且，，四棱锥的体积为80，求二面角的正切值.

17．已知椭圆的右焦点为，离心率为.

(1)求的方程；

(2)若过点的直线与交于两点，且，求.

18．已知函数．

(1)当时，求的最小值：

(2)若是的极值点，证明：

（i）；（ii）．

19．已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和．若和满足，则称X和Y关于S全封闭，否则称X和Y关于S半封闭．

(1)若，，写出两个不同的Y，使得X和Y关于S全封闭；

(2)设，且，证明：若，则X和Y关于S半封闭；

(3)设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若X和Z关于S全封闭，则存在，使得．

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《山西省长治市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

D

A

C

A

B

D

AC

BCD

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的加减与共轭复数与模长即可得结论.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

2．C

【分析】根据正弦函数的性质求出集合，即可求交集.

【详解】由可得，，

所以，所以，

又，所以，

故选：C.

3．D

【分析】由题设写出抛物线焦点和准线方程可得圆心到准线距离，再结合圆截准线的长即可求出圆的半径，进而由圆的标准方程得解.

【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为，

所以圆的半径为，

所以该圆的方程为.

故选：D.

4．A

【分析】由题，先求出的值，再将展开用表示，代入计算即可．

【详解】在角的终边上任取一点，

故,

．

故选：A．

5．C

【分析】结合组合数和古典概型问题，直接求解概率即可.

【详解】由题知，抽取的两道分为两道历史，两道地理和历史、地理各一道，

至少答对一道题有答对一道和答对两道两种，

则其概率为.

故