2.1 等式性质与不等式性质（解析版）.docx

第一节等式性质与不等式性质

一、知识点归纳

知识点一实数大小比较的基本事实

如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab.反过来也对．这个基本事实可以表示为：

ab?a－b0；

a＝b?a－b＝0；

ab?a－b0.

知识点二等式与不等式的性质

等式的性质

不等式的性质

a＝b?b＝a

ab?ba

a＝b，b＝c?a＝c

ab，bc?ac

a＝b?a＋c＝b＋c

ab?a＋cb＋c

a＝b?ac＝bc

ab，c0?acbc；

ab，c0?acbc

a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)

ab，cd?a＋cb＋d

ab0，cd0?acbd

ab0?anbn(n∈N，n≥2)

二、题型分析

题型一用不等式(组)表示不等关系

【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．

【解析】设复兴号列车速度为v1，

民航飞机速度为v2，

普通客车速度为v3.

v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，

v1、v3的关系：v1＞3v3.

【规律方法总结】在用不等式?组?表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个?或几个?量之间不可用不等式?组?来表示.另外，在用不等式?组?表示实际问题时，一定要注意单位的统一.

【变式1】．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．

【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0x≤18，

这时菜园的另一条边长为eq\f(30－x,2)＝(m)．

因此菜园面积S＝x·，

依题意有S≥216，即x≥216，

故该题中的不等关系可用不等式表示为

题型二不等式的性质

【例2】（2019-2020学年?楚雄南华期末）若，，且，则下列不等式中一定成立的是

A． B． C． D．

【答案】：

【解析】：，，且，取，可排除，；取，可排除．

由不等式的性质知当时，，故正确．

【方法技巧】利用不等式判断正误的2种方法

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

【变式2】（2019-2020学年?汉中二模）若，则下列不等式中不成立的是

A． B． C． D．

【答案】：．

【解析】：，，．因此不正确．

题型三比较两数(式)的大小

【例3】设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小关系是________．

【答案】：p＜r＜s＜q

【解析】：法一：(特值探路)取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝eq\f(1,2)，q＝2，r＝eq\f(5,7)，s＝eq\f(5,3)，则p＜r＜s＜q.

法二：(作差法)∵p－r＝eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(?b－a?m,a?a＋m?)＜0，∴p＜r.

∵r－s＝eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(a＋n,b＋n)＝eq\f(?b－a??b＋a＋m＋n?,?a＋m??b＋n?)＜0，

∴r＜s.

∵s－q＝eq\f(a＋n,b＋n)－eq\f(a,b)＝eq\f(?b－a?·n,b?b＋n?)＜0，∴s＜q.

∴p＜r＜s＜q.

【规律方法总结】作差法比较两个实数大小的基本步骤：

【变式3】（2019-2020学年?天心区校级学业考试）设，，，，则，，的大小关系是．

【答案】

【解析】：因为，，，，

所以，，则，所以，即，

且，所以，即，

故，，大小关系为，

题型四利用不等式性质证明简单不等式

【例4】已知cab0，求证：eq\f(a,c－a)eq\f(b,c－b).

【证明】：∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0?\f(1,a)＜\f(1,b)，,c＞0))?eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?\f(c－a,a)＜\f(c－b,b)，,c－a＞0，,c－b＞0))?eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).

【规律方法总结】利用不等式的性质证明不等式注意事项

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