2025年空间向量与立体几何知识点归纳总结 .pdfVIP

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

空间向量与立体几何知识点归纳总结

在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上

的投影来表示。设向量为

a=(a1,a2,a3)

则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为

a1、a2、a3

即

a=(a1,a2,a3)

2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即

a|=√(a1²+a2²+a3²)

3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相

同、模长为1的向量。设向量

a

的模长为

a|

则其单位向量为

a/|a|

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标

轴的夹角分别称为其方向角。设向量

a=(a1,a2,a3)

则其方向角为

α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)

5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐

标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。设向量

a=(a1,a2,a3)

则其方向余弦为

cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|

一、知识要点

1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的

量。向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一

或相等的向量。向量具有平移不变性。

2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与

平面向量运算相同。运算法则包括三角形法则、平行四边形法

则和平行六面体法则。

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平

行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。共线向量定理指出，

空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那

么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使

p=xa+yb+zc。若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的

一个基底，a、b、c叫做基向量。

6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向

量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。向量的模长是指其

长度，向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。向

量的方向角是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角，

向量的方向余弦是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹

角的余弦值。

二、改写后的文章

空间向量与立体几何是高中数学中的重要内容。本文将对

空间向量的基本概念、运算法则、共线向量、共面向量、基本

定理和直角坐标系进行总结和归纳。

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

1.空间向量的概念

在空间中，向量是具有大小和方向的量。同向等长的有向

线段表示同一或相等的向量。向量具有平移不变性，即向量的

大小和方向不随平移而改变