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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

大学高等数学教材笔记

一、函数与极限

函数：

1.定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

2.函数的表示：常用的表示方法有函数图像、函数表达式和函数关

系式。

3.基本函数类型：包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、

三角函数等。

4.函数的性质：包括奇偶性、单调性、周期性等。

极限：

1.介绍：极限是数学中用来描述函数或数列趋近于某一值的概念。

2.极限的定义：函数f(x)在x趋近于a时，如果对于任意给定的正

数ε，都存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，总有|f(x)-A|＜ε成立，就

称函数f(x)当x趋近于a时极限为A。

3.常用的极限计算方法：包括夹逼定理、洛必达法则、极限的性质

等。

二、导数与微分

导数：

博观而约取，厚积而薄发。——苏轼

1.介绍：导数是描述函数变化率的工具，也是函数在某一点上的切

线斜率。

2.导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限

lim(x→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

3.常见函数的导数公式：包括常数的导数、幂函数的导数、指数函

数的导数、对数函数的导数等。

4.导数的性质：包括可导性、导数的四则运算、导函数的几何意义

等。

微分：

1.介绍：微分是导数的另一种表现形式，用于计算函数在某一点上

的微小变化。

2.微分的定义：函数f(x)在点x处的微分定义为df(x)=f(x)dx。

3.微分的应用：包括利用微分计算近似值、优化问题、微分中值定

理等。

三、积分与定积分

积分：

1.介绍：积分是对函数在一定区间上的累加，用于求解曲线下的面

积、计算函数的平均值等。

2.不定积分：表示不带上下限的积分，通常用∫f(x)dx表示。

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

3.常见函数的不定积分：包括多项式函数的不定积分、幂函数的不

定积分、三角函数的不定积分等。

定积分：

1.介绍：定积分是对函数在一定区间上的积分，表示函数在该区间

上的累加结果。

2.定积分的计算方法：包括分区间、近似求解法、定积分的性质等。

3.定积分的应用：包括曲线下面积计算、物理学中的应用、求解平

均值等。

四、级数

级数：

1.介绍：级数是无穷项数列求和的结果，可以表示为∑(n=1)ⁿan。

2.级数的收敛性：包括绝对收敛、条件收敛和发散等情况。

3.常见级数的特性：包括等比级数、调和级数、幂级数等。

级数的运算：

1.级数的加减法：满足级数加减法的条件，可以进行级数的相加或

相减运算。

2.级数的乘法：满足级数乘法的条件，可以进行级数的乘积运算。

级数的应用：

人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗

1.级数在数学中的应用：包括泰勒级数的应用、无穷的几何图形等。

2.级数在物理、工程等领域的应用：包括电路中的信号传输、调和

级数在信号处理中的应用等。

以上是大学高等