专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.pdf

专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】

【新高考专用】

【题型1导数的定义及其应用】2

【题型2求（复合）函数的导数的方法】3

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】5

【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】6

【题型5已知切线（斜率）求参数】8

【题型6切线的条数问题】9

【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】11

【题型8与切线有关的最值问题】13

1、导数的几何意义与运算

导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运

算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义

也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y=f(x)在x=x处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；

000

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f(x)(x-x).

000

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；

000

②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f(x)(x-x)；

000

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2复合函数的导数】

1.复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函

数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).

2.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y

对u的导数与u对x的导数的乘积.

3.求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代：把中间变量代回.

【题型1导数的定义及其应用】

(‒2+Δ)‒(‒2‒Δ)

【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔ=‒2，则(‒2)=（）

Δ→0

A．1B．-1C．2D．-2

【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.

(‒2+Δ)‒(‒2‒Δ)(‒2+Δ)‒(‒2)+[(‒2)‒(‒2‒Δ)]

lim=lim

【解答过程】Δ