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专题4.1同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】
【新高考专用】
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【题型1正、余弦齐次式的计算】 2
【题型2“和”“积”转换】 3
【题型3诱导公式的应用——化简、求值】 5
【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】 6
【题型5三角恒等变换的化简问题】 7
【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】 9
【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】 11
【题型8三角恒等变换的综合应用】 14
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.
【知识点1同角三角函数关系式的常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
2.同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2诱导公式及其应用】
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】
1.给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4.三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【题型1正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1?2sinαcosαcos2α?sin2α=13，则tanα=
A．13 B．12 C．13或1
【解题思路】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tan
【解题思路】因为1?2
=cosα?sin
故选：B.
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α∈0,π，且sinα?3cos
A．?3 B．?33 C．3
【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.
【解题思路】由题设(sin
所以sin2α?23
故tan2α?23
所以tanα=?
故选：B.
【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ=2，则cosθ?2sin
A．0 B．?53 C．-1
【解题思路】分子分母同时除以cosθ
【解题思路】由题知，tanθ=2
则cos
=1?2×2
故选：C.
【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P?2,5，则sin2α
A．?752 B．?4513
【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【解题思路】由题意知tanα=?
则原式=2
故选：B.
【题型2“和”“积”转换】
【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sinα?cosα=13
A．?89 B．23 C．4
【解题思路】把sinα?
【解题思路】∵sinα?cos
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sinαcosα=?16
A．233 B．?233
【解题思路】结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正
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