2025年北师大版中考数学总复习专题五分类讨论问题——等腰三角形、直角三角形.docx

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专题五分类讨论问题——等腰三角形、直角三角形

【A层·基础过关】

1.已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为(B)

A.13 B.17

C.13或17 D.13或10

2.如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP=2或23或27.?

3.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为?32或65

4.有一副直角三角板ABC,DEF,其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=30°,∠D=45°.如图,将三角板DEF的顶点E放在AB上,移动三角板DEF,当点E从点A沿AB向点B移动的过程中,点E,C,D始终保持在一条直线上.直线DF与直线AB交于点M,当△MEF为等腰三角形时,∠ACE的度数为15°或82.5°.?

5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,-3),顶点D的坐标为(1,-4).

(1)求抛物线的表达式;

(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标;

(3)点P是x轴上的动点,点Q是抛物线上的动点,是否存在点P,Q,使得以点P,Q,B,D为顶点,BD为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)∵抛物线的顶点为(1,-4),

∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)2-4,

将点C(0,-3)代入抛物线y=a(x-1)2-4中,

得a-4=-3,∴a=1,

∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3;

(2)由(1)知,抛物线的表达式为y=x2-2x-3,

令y=0,则x2-2x-3=0,

∴x=-1或x=3,

∴B(3,0),A(-1,0),

令x=0,则y=-3,

∴C(0,-3),∴AC=10,

设点E(0,m),则AE=m2+1,CE=|

∵△ACE是等腰三角形,

∴①当AC=AE时,10=m2

∴m=3或m=-3(点C的纵坐标,舍去),

∴E(0,3),

②当AC=CE时,10=|m+3|,

∴m=-3±10,

∴E(0,-3+10)或(0,-3-10),

③当AE=CE时,m2+1=|

∴m=-43

∴E0,?4

即满足条件的点E的坐标为(0,3),(0,-3+10),(0,-3-10),0,?4

(3)如图,存在,∵D(1,-4),

∴将线段BD向上平移4个单位,再向右(或向左)平移适当的距离,使点B的对应点落在抛物线上,这样便存在点Q,此时点D的对应点就是点P,

∴点Q的纵坐标为4,

设Q(t,4),将点Q的坐标代入抛物线y=x2-2x-3中得,t2-2t-3=4,∴t=1+22或t=1-22,∴Q(1+22,4)或(1-22,4),

分别过点D,Q作x轴的垂线,垂足分别为F,G,

∵抛物线y=x2-2x-3与x轴的右边的交点B的坐标为(3,0),且D(1,-4),

∴FB=PG=3-1=2,

∴点P的横坐标为(1+22)-2=-1+22或(1-22)-2=-1-22,即P(-1+22,0),Q(1+22,4)或P(-1-22,0),Q(1-22,4).

【B层·能力提升】

6.(函数背景)已知抛物线经过A(-1,0),B(0,3),C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,点M为射线BD上一动点,连接OM,交BC于点F.

(1)求抛物线的表达式;

(2)求证:∠BOF=∠BDF;

(3)是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长.

【解析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,

把A(-1,0),B(0,3),C(3,0)代入得0=a?

∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;

(2)在正方形OBDC中,有∠OBC=∠DBC,BD=OB,

∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,

∴∠BOF=∠BDF;

(3)存在.

∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,

∴令y=3,则3=-x2+2x+3,解得x1=0,x2=2,

∴E(2,3),

①如图,

当M在线段BD的延长线上时,∠BDF为锐角,

∴∠FDM为钝角,

∵△MDF为等腰三角形,

∴DF=DM,∴∠M=∠DFM,

∴∠BDF=∠M+∠DFM=2∠M,

∵BM∥OC,

∴∠M=∠MOC,

由(2)得∠BOF=∠BDF,

∴∠BDF+∠MOC=3∠M=90°,

∴∠M=30°,

在Rt△BOM中,BM=OBtan30°=33

∴ME=BM-BE=33-2;

②如图,

当M在线段BD上时,∠DMF为钝角,

∵△M