2025年北师大版中考数学总复习考点梳理第十二讲反比例函数.docx

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第十二讲反比例函数

知识要点

对点练习

1.反比例函数表达式的三种形式

(1)y=?kx__(k≠0,k为常数)

(2)y=k__x-1__(k≠0,k为常数).?

(3)xy=__k__(k≠0,k为常数).?

1.反比例函数y=6x

A.(-3,2) B.(2,-3)

C.(-2,-4) D.(2,3)

2.反比例函数的图象与性质

(1)反比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是__双曲线__,且关于__原点__对称

(2)反比例函数y=kx(k为常数,k

2.(1)(教材再开发·人教九下P7例4改编)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-2x的图象上,且x10x2

A.y1+y20 B.y1+y20

C.y1-y20 D.y1-y20

(2)一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b

3.k的几何意义

(1)S=|k|

(2)S=|

3.(教材再开发·北师九上P157T5改编)已知反比例函数y=kx的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k

A.3 B.-3 C.6 D.-6

考点一反比例函数的定义

【例1】下列函数中,是反比例函数的是(B)

A.y=x2 B.y=13x C.xy=k D.y

【方法小结】考点“反比例函数的定义”多见于选择题,要根据定义判断,是否能转化成y=kx(k为常数,k≠0)的形式,但要注意自变量的取值范围

考点二反比例函数的图象与性质

【例2】(2023·武汉)关于反比例函数y=3x,下列结论正确的是(C)

A.图象位于第二、四象限

B.图象与坐标轴有公共点

C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小

D.图象经过点(a,a+2),则a=1

【方法小结】考点“反比例函数的图象与性质”在中考中以填空题、选择题、解答题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用反比例函数的图象与性质,常用排除法.

注意:(1)反比例函数的图象是双曲线,而且双曲线无限接近于坐标轴,但永不与坐标轴相交;

(2)反比例函数的图象位置及图象的弯曲程度都与k有关;

(3)反比例函数图象的增减性必须强调在每一个分支上,不能认为在整个自变量取值范围内增大(或减小).

考点三反比例函数的表达式的确定

【例3】如图,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数y=kx的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点

(1)求反比例函数的表达式;

(2)求图中阴影部分的面积.

【解析】(1)∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,2),∴2=k

∴k=2,∴反比例函数的解析式为y=2x

(2)∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,

∴设B点的坐标为(m,m),

∵反比例函数y=2x的图象经过B点,∴m=2

∴m2=2,∴小正方形的面积为4m2=8,

∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,且A(1,2),

∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2),

∴大正方形的面积为4×22=16,

∴题图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=16-8=8.

【方法小结】确定反比例函数表达式,一般用待定系数法求出表达式.要注意确定函数图象上一点的坐标,利用xy=k即可求得k值并确定函数表达式.

考点四反比例函数与一次函数

【例4】(2024·安徽)已知反比例函数y=kx(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则k

A.-3 B.-1 C.1 D.3

【例5】(2024·湖北)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4)

(1)求m,n,k的值;

(2)若C是反比例函数y=kx的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围

【解析】(1)把点A(-3,0)坐标代入y=x+m得:0=-3+m,解得m=3,

∴一次函数表达式为y=x+3,

把点B(n,4)坐标代入一次函数表达式得4=n+3,解得n=1,

把点B(1,4)坐标代入反比例函数表达式得:4=k1,解得k

∴反比例函数表达式为y=4x

(2)∵△AOC的面积小于△AOB的面积,∴yCyB,即yC4,

∵点C在反比例函数图象上,且在第一象限,∴4a4,∴a1

【方法小结】反比例函数与一次函数的综合题,主要是通过函数图象的交点作为联系,运用“函数图象的交点同时满足两个函数的表达式”这一特点,一般用其中一个函数的表达式求出交点的坐标,再代入另一个函数表达式;也常见于选择题,一般为探求同一坐标系下两个函数的图象问题