2025年北师大版中考数学总复习微专题3反比例函数的综合应用.docxVIP

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微专题3反比例函数的综合应用

角度1与一次函数结合

【思维切入】

1.将已知点代入反比例函数表达式,先得反比例函数;再求另一点,将两个点代入一次函数表达式,得一次函数表达式.

2.将反比例函数和一次函数表达式联立得方程组,解得两个交点的坐标,进一步求解.

针对训练

1.(2024·临夏州)如图,直线y=kx与双曲线y=-4x交于A,B两点,已知A点坐标为(a,2)

(1)求a,k的值;

(2)将直线y=kx向上平移m(m0)个单位长度,与双曲线y=-4x在第二象限的图象交于点C,与x轴交于点E,与y轴交于点P,若PE=PC,求m的值

【解析】(1)∵点A在反比例函数图象上,所以2=-4a,解得a

将A(-2,2)代入y=kx,∴k=-1;

(2)如图,过点C作CF⊥y轴于点F,

∴CF∥OE,∴∠FCP=∠OEP,∠CFP=∠EOP,

∵PE=PC,∴△CFP≌△EOP(AAS),

∴CF=OE,OP=PF,

∵直线y=-x向上平移m个单位长度得到y=-x+m,

令x=0,得y=m,令y=0,得x=m,

∴E(m,0),P(0,m),∴CF=OE=m,OP=PF=m,

∴C(-m,2m),

∵双曲线y=-4x过点C,∴-m·2m

解得m=2或-2(舍去),∴m=2.

2.(2023·贵州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数y=kx(x0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且点D为AB的中点

(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;

(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=kx(x0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),直接写出m的取值范围

【解析】(1)∵四边形OABC是矩形,点D(4,1),且点D为AB的中点,

∴B(4,2),

∴点E的纵坐标为2,

∵反比例函数y=kx(x0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E

∴k=4×1=4,

∴反比例函数表达式为y=4x

把y=2代入得,2=4x

解得x=2,∴E(2,2);

(2)把D(4,1)代入y=x+m得,1=4+m,解得m=-3,

把E(2,2)代入y=x+m得,2=2+m,解得m=0,

∴m的取值范围是-3≤m≤0.

角度2与几何图形结合

类型一求三角形的面积

【思维切入】

1.补全求差:将三角形补成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面积差求解.

2.分割求和:利用坐标轴进行分割求和或利用纵底横高求解.

针对训练

3.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P坐标;

(3)点Q在反比例函数y=mx位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写出Q点坐标

【解析】(1)把A(-6,1)代入y=mx得:1=m

∴m=-6,

∴反比例函数的表达式为y=-6x

把B(1,n)代入y=-6x得:n

∴B(1,-6),

把A(-6,1),B(1,-6)代入y=kx+b得:-6

解得k=

∴一次函数的表达式为y=-x-5;

(2)设直线x=-2交直线AB于H,如图:

在y=-x-5中,令x=-2得y=-3,

∴H(-2,-3),

∵△PAB的面积为21,

∴12PH·|xB-xA|=21,即12

∴PH=6,

∵-3+6=3,-3-6=-9,

∴点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9);

(3)过Q作QM∥x轴交直线AB于M,如图:

设Q(t,-6t

在y=-x-5中,令y=-6t得x=6

∴M(6t-5,-6

∴MQ=|6t-5-t

∵△QAB的面积为21,

∴12MQ·|yA-yB

即12×|6t-5-

∴6t-5-t=6或6t-5-

解得t=-11±1452或t

经检验,t=-11+1452

∴点Q的坐标为(-11+1452,-

类型二求特殊三角形或特殊四边形

【思维切入】

1.动三角形的形状问题:

(1)等腰三角形:

方法1:求已知边,按腰或底分类讨论求解(两圆一垂直);

方法2:设动点坐标,表示三边平方,分类讨论得方程求解;

(2)直角三角形:

方法1:按直角分类讨论,构造一线三直角求解;

方法2:设动点坐标,表示三边的平方,根据勾股定理的逆定理分类讨论列方程求解.

2.动点平行四边形问题:

按对角线两端点的横坐标(纵坐标)之和相等,分类讨论求解.

3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题;

动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;

动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.

针对训练

4.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=k1x交于A(1,