2025年北师大版中考数学总复习微专题14圆中常用辅助线的探寻.docxVIP

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微专题14圆中常用辅助线的探寻

类型1见弦连半径,得等腰三角形

图形示例

辅助线

在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解

思路结论

OA=OB,∠OAB=∠OBA

针对训练

1.如图,A,B,C是半径为1的☉O上的三个点,若AB=2,∠CAB=30°,则∠ABC的度数为(C)

A.95° B.100° C.105° D.110°

2.(2023·长沙)如图,点A,B,C在半径为2的☉O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足为E,交☉O于点D,连接OA,则OE的长度为__1__.?

类型2见弦作垂径,得直角三角形

图形示例

辅助线

在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解

思路结论

AC=BC,OC2+BC2=OB2

针对训练

3.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)

A.32 B.32 C.3 D

4.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.

(1)求此下水管道横截面的半径;

(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少.

【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点C,交圆O于点D,连接OB,则CD=0.1米,

∴BC=12AB=0.3米,设此下水管横截面的半径为r

则OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米,在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2,

∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得:r=0.5,

即此下水管道横截面的半径为0.5米;

(2)如图,过点O作OH⊥MN于点H,∴MH=NH=12MN

根据题意得CH=0.7米,由(1)得ON=0.5米,

∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米),

∴NH=ON2-

∴MN=0.8米,

∴此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2(米).

类型3见直径作弦,得90°圆周角

图形示例

辅助线

在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解

思路结论

∠C=90°,AC2+BC2=AB2

针对训练

5.(2024·眉山)如图,BE是☉O的直径,点A在☉O上,点C在BE的延长线上,

∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交☉O于点D,连接DE.

(1)求证:CA是☉O的切线;

(2)当AC=8,CE=4时,求DE的长.

【解析】(1)连接OA,

∵BE是☉O的直径,

∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°.

∵OA=OB,∴∠B=∠BAO.

∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,

∴∠CAE+∠OAE=90°,

∴∠OAC=90°.

∵OA是☉O的半径,

∴CA是☉O的切线.

(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,

∴△ABC∽△EAC,

∴ACBC=CE

∴8BC=48,∴

∴BE=BC-CE=12.

连接BD,∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,

∴BD=DE,∴BD=DE.

∵BE是☉O的直径,∴∠BDE=90°,

∴DE=BD=22BE=62

类型4见切线连圆心和切点,得切线垂直半径

图形

示例

辅助线

在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题

思路结论

OA⊥PA

针对训练

6.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是(C)

A.3 B.4

C.33 D.42

7.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切;

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.

【解析】(1)连接OD,OA,作OH⊥AB于H,如图,

∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,

∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.

∵AC与☉O相切于点D,∴OD⊥AC,而OH⊥AB,

∴OH=OD,∴AB是半圆O的切线.

(2)由(1)知OD⊥AC,

在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,

∴OD2+42=(OD+2)2,

∴OD=3,∴OC=5,

∴cosC=CDOC=4

在Rt△OCA中,cosC=OCAC=4

∴sin∠OAC=OCAC=4

类型5连半径证垂直或作垂直证半径,得相切

图形示例

辅助线

图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线;

图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径