模块四 数列（测试）（解析版）.docx

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模块四数列（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是数列的前n项和，若，，则（????）

A．数列是等比数列 B．数列是等差数列

C．数列是等比数列 D．数列是等差数列

【答案】C

【解析】因①可得，当时，②，于是，由①-②可得：，

即，可得，因，在中，取，可得，即，

故数列不是等比数列，选项A，B错误；

又因当时，都有，代入中，可得，整理得：，

故数列是等比数列，即选项C正确，D错误.

故选：C.

2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．若把该数列的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成新数列，则数列的前项和是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

除以所得余数分别为；，

即是周期为的周期数列，

因为，

，

所以数列的前项和为.

故选：C

3．已知等比数列的前项积为，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，则，则，

所以.

故选：B.

4．已知数列的前n项和为，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，则，整理得，

又，则，

因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，

则，所以.

故选：D.

5．已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（??）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，恒成立，

所以对恒成立，故，

又当时，为单调递增的数列，

故要使对任意，都有，则，即，

解得，

综上可得，

故选:C

6．已知等差数列中，，公差，前项和为，则下列结论中错误的是（????）

A．数列为等差数列

B．当时，值取得最大

C．存在不同的正整数，使得

D．所有满足的正整数中，当时，值最大

【答案】C

【解析】，得，数列为等差数列，A正确；

当的对称轴为，因为，所以当时，值取得最大，B正确；

因为当的对称轴为，且，因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数，使得，C错误；

由题可知，，解得，

，化简可得，

根据二次函数性质可知当时，取最大值，因为，所以当时，值最大，D正确.

故选：C.

7．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为（????）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】数列为调和数列,故，所以为等差数列，

由，所以，

故，所以，故，故，

由于，

当且仅当时等号成立，故的最大值为2，

故选:B

8．已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（????）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，

所以数列是等比数列，首项为，公比为，

所以，即，

所以

，

而当时，单调递增，

又因为，且，

所以满足条件的最大整数.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知数列中，，，则下列结论正确的是（????）

A． B．是递增数列 C． D．

【答案】BD

【解析】由，可得，则，

又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，

由，所以A不正确；

由，即，所以是递增数列，所以B正确；

由，所以C错误；

由，，所以，所以D正确.

故选：BD.

10．已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（????）

A．数列为递减数列 B．

C．的最大值为 D．

【答案】ABC

【解析】设等差数列的公差为d，

由于，，故，

则，B正确；

，则数列为递减数列，A正确，

由以上分析可知，时，，

故的最大值为，C正确；

，D错误，

故选：ABC

11．已知数列满足，，则的值可能为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】AD

【解析】由可得，

故或，

当时，则，因此，故，

若时，则为等比数列，且公比为，则

故选：AD

12．对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．为奇函数 D．在定义域内单调递减

【答案】AC

【解析】令，则，解得，故A正确；

因为，即，

所以是以为首项，2为公比的等比数列，

故，故B错误；

由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

令，则，

令代换，则，

由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确；

因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，

但是不能判断在定义域上的单调性