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北京海淀区高三数学试卷

一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若$f(x)$在$x=1$处的导数为0，则该函数的图像在$x=1$处的切线斜率为（）

A.1B.2C.-1D.0

2.若$|x|+|y|=1$，则下列点中不属于该不等式表示的平面区域的是（）

A.$(-1,0)$B.$(0,1)$C.$(1,0)$D.$(0,0)$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_4+a_7=15$，则$a_3+a_6=$（）

A.9B.12C.15D.18

4.已知等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$，若$b_1+b_2+b_3=27$，$b_1\cdotb_2\cdotb_3=27$，则$q=$（）

A.$\frac{1}{3}$B.3C.$\frac{1}{9}$D.9

5.已知$a0$，$b0$，$a^2+b^2=1$，则$a+b$的最大值为（）

A.$\sqrt{2}$B.1C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\sqrt{2}-1$

6.已知$a0$，$b0$，$a+b=1$，则$ab$的最大值为（）

A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{3}{4}$

7.已知$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则$f(1)=$（）

A.-6B.3C.0D.6

8.已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，则$f(x)$的图像在$x=1$处的垂直渐近线方程为（）

A.$x=1$B.$y=x$C.$y=-x$D.无渐近线

9.已知数列$\{c_n\}$的通项公式为$c_n=\frac{n}{n+1}$，则$\lim_{n\to\infty}c_n=$（）

A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{n}$D.$\frac{1}{n+1}$

10.已知函数$f(x)=e^x-x$，则$f(x)=$（）

A.$e^x$B.$e^x-1$C.$e^x+1$D.$e^x+x$

二、判断题

1.若两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形相似。（）

2.平行四边形的对角线互相平分，因此平行四边形是矩形。（）

3.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，则该数列的任意两项之差总是等于公差$d$。（）

4.指数函数$f(x)=a^x$（其中$a0$且$a\neq1$）是严格单调递增函数。（）

5.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内是连续的。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则$\frac{b}{2a}$（）$0$。

2.若函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=0$处可导，则$f(0)=\frac{b}{2a}$。（）

3.若函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0,1]$上连续，则$\lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{1}{2}$。（）

4.在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x=-1$的对称点坐标为（）。

5.若$\lim_{x\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$，则数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$（）。

四、解答题

1.解下列方程组：

$$\begin{cases}

x+y+z=3\\

x-y-z=1\\

2x+3y+4z=5

\end{cases}$$

2.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$并判断函数的单调性。

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。

4.在平面直角坐标系中，设$O(0,0)$，$A(1,2)$，$B(3,4)$，求三角形$OAB$的面积。