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北京附中数学试卷

一、选择题

1.在下列函数中，定义域为全体实数的是（）

A.$y=\sqrt{4x^2+1}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=\ln(x^2+1)$

D.$y=\sqrt[3]{x}$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，则第10项与第15项的差是（）

A.41

B.42

C.43

D.44

3.若直线$y=kx+1$经过点$(1,2)$，则$k$的值为（）

A.1

B.2

C.0

D.-1

4.在下列复数中，属于纯虚数的是（）

A.$2+3i$

B.$-1-2i$

C.$1+0i$

D.$-2-3i$

5.若$a^2+b^2=25$，$a-b=3$，则$a+b$的值为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

6.已知$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则$A^{-1}$是（）

A.$\begin{bmatrix}2-1\\-31\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}12\\-34\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}1-2\\3-4\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}-21\\-34\end{bmatrix}$

7.若$sinA=\frac{3}{5}$，$A$的范围是（）

A.$(0,\frac{\pi}{2})$

B.$(-\frac{\pi}{2},0)$

C.$[0,\pi]$

D.$(-\pi,0]$

8.已知$V_{\triangleABC}=12$，$a=4$，$b=6$，则$sinC$的值为（）

A.$\frac{3}{4}$

B.$\frac{4}{3}$

C.$\frac{3}{2}$

D.$\frac{2}{3}$

9.若$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$，则$x$的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

10.在下列极限中，存在的是（）

A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$

B.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$

C.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$

D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{1-\cosx}$

二、判断题

1.二项式定理可以用来计算任意多项式的展开式。（）

2.在等比数列中，任意两项的比值是常数。（）

3.对于任意实数$x$，$x^2\geq0$。（）

4.两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。（）

5.函数$f(x)=x^3$在其定义域内是单调递增的。（）

三、填空题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}=\_\_\_\_\_\_$

2.如果直线$y=2x-1$与直线$y=-\frac{1}{2}x+3$垂直，则这两条直线的斜率分别是$2$和$-\frac{1}{2}$，因此它们的交点是$\_\_\_\_\_\_$

3.复数$z=3+4i$的模是$\sqrt{3^2+4^2}=\_\_\_\_\_\_$

4.在直角坐标系中，点$(1,-2)$关于原点的对称点是$\_\_\_\_\_\_$

5.函数$f(x)=x^2-3x+2$的顶点坐标可以通过配方法得到，即$f(x)=(x-\_\_\_\_\_\_)(x-\_\_\_\_\_\_)$

四、简答题

1.简述函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与系数$a$、$b$和$c$之间的关系。

2.给定一个等差数列$\{a_n\}$，已知$a_1=5$，$d=3$，求前$10$项的和$S_{10}$。

3.如果一个二次方程$x^2-4x+c=0$有两个实数根，请说明根与系数的关系，并求出$c$的取值范围。

4.如何判断一个复数$z=a+bi$是否为纯虚数？请给出判断方法和一个例子。

5.解释什么是三角函数的周期性，并说明正弦函数和余弦函数的周期分别是多少。

五、计算题

1.计算以下极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)-