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北大离散数学试卷

一、选择题

1.在离散数学中，下列哪个术语用于描述一个有限集合中的元素个数？

A.序列

B.关系

C.卡迪纳尔

D.组合

2.在图论中，一个无向图如果它的任意两个顶点之间都有边相连，那么这个图被称为：

A.有向图

B.无向图

C.连通图

D.分图

3.在集合论中，一个集合A的补集是指：

A.与A有相同元素的所有集合的集合

B.不属于A的所有元素的集合

C.属于A的所有元素的集合

D.属于A的所有元素与不属于A的所有元素的并集

4.在逻辑中，下列哪个逻辑连接词表示“如果……那么……”？

A.且（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.如果（→）

5.在组合数学中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，那么C(5,3)的值是多少？

A.5

B.10

C.15

D.20

6.在集合论中，下列哪个性质是幂集的必然性质？

A.幂集的元素个数等于原集合的元素个数

B.幂集的元素个数是原集合的元素个数的两倍

C.幂集的元素个数是原集合的元素个数的幂次方

D.幂集的元素个数与原集合的元素个数没有必然联系

7.在图论中，一个图如果它的任意两个顶点之间都有边相连，那么这个图被称为：

A.有向图

B.无向图

C.连通图

D.分图

8.在集合论中，下列哪个性质是集合的子集的必然性质？

A.子集的元素个数等于原集合的元素个数

B.子集的元素个数小于原集合的元素个数

C.子集的元素个数大于原集合的元素个数

D.子集的元素个数与原集合的元素个数没有必然联系

9.在逻辑中，下列哪个逻辑连接词表示“非（?）”？

A.且（∧）

B.或（∨）

C.非（?）

D.如果（→）

10.在组合数学中，P(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数，那么P(4,2)的值是多少？

A.4

B.6

C.8

D.12

二、判断题

1.在图论中，一个完全图是指每个顶点都与其他所有顶点相连的图。（）

2.在集合论中，空集是任何集合的子集，但不是任何集合的超集。（）

3.在逻辑学中，一个命题如果是真的，那么它的否定命题也是真的。（）

4.在离散数学中，所有无限集合的基数都是无限的。（）

5.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)总是小于或等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数P(n,k)。（）

三、填空题

1.在图论中，如果从顶点u到顶点v存在一条路径，则称u和v是图中的_______顶点。

2.在集合论中，如果A是B的_______，那么B是A的_______。

3.在逻辑学中，命题“所有的人都会死亡”的逆命题是“如果_______，那么_______”。

4.在离散数学中，一个有穷集合的_______表示该集合中元素的数量。

5.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)可以通过公式_______来计算。

四、简答题

1.简述图论中图的邻接矩阵和邻接表的区别及其在图处理中的适用场景。

2.解释集合论中幂集的概念，并举例说明幂集在数学中的应用。

3.阐述逻辑学中的条件命题及其真值表，并说明如何判断一个条件命题的真假。

4.简化并解释组合数学中的排列组合问题，并举例说明其应用。

5.描述离散数学中算法的概念，并说明算法设计中的关键要素。

五、计算题

1.计算从5个不同元素中取出3个元素的组合数C(5,3)。

2.设图G的邻接矩阵如下，计算顶点1到顶点4的最短路径长度（使用迪杰斯特拉算法）。

```

12345

101000

200110

300001

400000

500000

```

3.给定一个集合A={1,2,3,4,5}，求集合A的所有非空子集的个数。

4.使用二分查找算法，在以下有序数组中查找元素5。

```

[1,2,4,5,6,7,8,9,10]

```

5.设有一个递归函数f(n)定义为：f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2^n，对于n≥2。计算f(5)的值。

六、案例分析题

1.案例背景：

假设你正在为一个电子商务平台设计一个推荐系统，该系统需要根据用户的历史购买记录和浏览行为来推荐商品。用户数据包括用户ID、购买的商品列表和浏览过的商品列表。

案例分析：

（1）请描述如何使用集合论中的概念来表示用户的历史购买记录和浏览行为。

（2）如何利用图论中的概念来建模用户之间的关联，以及商品之间的关联。

（3）简述如何结合用户的历史数据，利用组合