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北大单招数学试卷

一、选择题

1.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$的值为（）

A.$\frac{1}{x^2}$B.$-\frac{1}{x^2}$C.$\frac{1}{x}$D.$-\frac{1}{x}$

2.下列各数中，属于有理数的是（）

A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$\frac{1}{2}$D.$2.5\sqrt{3}$

3.已知$x^2-2x+1=0$，则$x$的值为（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.$-\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

4.下列函数中，奇函数是（）

A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\sqrt{x}$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^3$

5.若$ab$，则下列不等式中正确的是（）

A.$a+cb+c$B.$a-cb-c$C.$acbc$D.$a^2b^2$

6.下列各数中，属于实数的是（）

A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$\frac{1}{2}$D.$2.5\sqrt{3}$

7.若函数$f(x)=x^3$，则$f(x)$的值为（）

A.$3x^2$B.$-3x^2$C.$2x$D.$-2x$

8.已知$x^2-4x+4=0$，则$x$的值为（）

A.2B.$\sqrt{2}$C.$-\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

9.下列函数中，偶函数是（）

A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\sqrt{x}$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^3$

10.若$ab$，则下列不等式中正确的是（）

A.$a+cb+c$B.$a-cb-c$C.$acbc$D.$a^2b^2$

二、判断题

1.在直角坐标系中，点$(1,2)$关于$x$轴的对称点坐标为$(1,-2)$。（）

2.若$a$和$b$是实数，且$a\neqb$，则$a^2\neqb^2$。（）

3.函数$f(x)=\frac{1}{x}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$。（）

4.对数函数$y=\log_2(x)$的值域为$\{y|y\in\mathbb{R}\}$。（）

5.在解方程$x^2-5x+6=0$时，可以使用配方法将方程转化为$(x-a)^2=b$的形式。（）

三、填空题

1.若$a=3$，$b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为_______。

2.函数$f(x)=2x-3$在$x=2$时的函数值为_______。

3.在直角坐标系中，点$(0,5)$到原点$(0,0)$的距离是_______。

4.若$x=2$是方程$x^2-5x+6=0$的一个根，则另一个根为_______。

5.对数方程$\log_3(x-1)=2$的解为_______。

四、简答题

1.简述一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）的图像特征，并说明其在直角坐标系中的位置关系。

2.请解释什么是函数的增减性，并举例说明如何判断一个函数在其定义域内的增减性。

3.如何求解二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）？请给出求解步骤。

4.简述勾股定理的内容，并说明其在实际问题中的应用。

5.请解释什么是指数函数$y=a^x$（$a0$，$a\neq1$），并说明其图像特征。

五、计算题

1.计算下列表达式的值：$(3-2\sqrt{2})^2$。

2.解方程组$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$。

3.求函数$f(x)=x^2-4x+3$的零点。

4.若$a$和$b$是方程$x^2-3x+2=0$的两个根，求$a^2+b^2$的值。

5.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+x)\,dx$。