2025年北师大版中考数学总复习第二十讲等腰三角形.docx

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第二十讲等腰三角形

【A层·基础过关】

1.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(D)

A.60° B.65° C.75° D.80°

2.如图,等边三角形ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),则点A的坐标为(B)

A.(2,3) B.(2,23)

C.(23,2) D.(2,22)

3.(2024·临夏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sinB=45,则BC

A.3 B.6 C.8 D.9

4.(2024·深圳模拟)春游有着悠久的历史,其源自远古农耕祭祀的迎春习俗,《尚书·大传》曰:“春,出也,万物之出也.”小丽和家人到公园踏春,帐篷撑起后如图1,为更好地将帐篷固定,需在4个角分别另加一根固定绳(DE),其主视图如图2所示,测得α=125°,CD=CE,则∠DEC=(D)

A.37.5° B.27.5° C.22.5° D.17.5°

5.(2024·自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)

A.(24-123)m B.(24-83)m

C.(24-63)m D.(24-43)m

6.如图,OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=25°.?

7(2024·自贡)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.

(1)求证:∠BDF=∠A;

(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.

【解析】(1)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED,

∵∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF,

∴DF∥AC,∴∠BDF=∠A;

(2)∵∠A=45°,

∴∠BDF=45°,

∵DF平分∠BDE,

∴∠BDE=2∠BDF=90°,

∵DE∥BC,

∴∠B=90°,

∴△ABC是等腰直角三角形.

【B层·能力提升】

8.如图,在?ABCD中,∠D=60°.以点B为圆心,以BA的长为半径作弧交边BC于点E,连接AE.分别以点A,E为圆心,以大于12AE的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AE于点O,交边AD于点F,则OFOE的值为?3

9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是15°或75°.?

10.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为6或25或45.?

11.(2024·广州模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE,则∠BAC=100°.?

12.在四边形ABCD中,已知AB=AD=8,∠A=60°,BC=10,CD=6.

(1)连接BD,试判断△ABD的形状,并说明理由;

(2)求∠ADC的度数.

【解析】(1)△ABD是等边三角形.

∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形.

(2)∵△ABD是等边三角形,

∴∠ADB=60°,BD=AB=8,

在△BCD中,CD2+BD2=62+82=100,

BC2=102=100,

∴CD2+BD2=BC2,∴∠BDC=90°,

∴∠ADC=∠BDC+∠ADB=90°+60°=150°.

【C层·素养挑战】

13.(2024·烟台)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE.

【尝试发现】

(1)如图1,当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为BE=2CD;?

【类比探究】

(2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图2中补全图形,再探究线段BE与CD的数量关系并证明;

【联系拓广】

(3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出sin∠ECD的值.

【解析】(1)如图,过点E作EM⊥CB延长线于点M,

由旋转得AD=DE,∠ADE=90°,

∴∠ADC+∠EDM=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠EDM,

∴△ACD≌△DME(AAS),

∴CD=EM,AC=DM,

∵AC=BC,∴BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,∴BM=EM,

∵EM⊥CB,∴BE=2EM=2CD.

(2)补全图形如图,BE=2CD,理由如下:

过点E作EM⊥BC于点M,由旋转得AD=DE,∠ADE=90°