2025年北师大版中考数学总复习专题十三 二次函数综合2.docxVIP

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专题十三二次函数综合2

【A层·基础过关】

1.二次函数y=ax2-3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为?(32,-9)或(32,6)

2.综合与探究

如图,抛物线y=12x2+2x-6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,

(1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.

(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D.

①试探究:在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;

②设抛物线的对称轴与直线l交于点M,与直线AC交于点N,当S△DMN=S△AOC时,请直接写出DM的长.

【解析】(1)当y=0时,12x2+2x-6=0,解得x1=-6,x2=2,∴A(-6,0),B

当x=0时,y=-6,∴C(0,-6),

∵A(-6,0),C(0,-6),∴直线AC的函数表达式为y=-x-6,

∵B(2,0),C(0,-6),∴直线BC的函数表达式为y=3x-6.

(2)①存在.设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6m0,

∵B(2,0),C(0,-6),

∴BD2=(m-2)2+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)2=2m2,

∵DE∥BC,∴当DE=BC时,以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形.

分两种情况:

如图,当BD=BC时,四边形BDEC为菱形,

∴BD2=BC2,

∴(m-2)2+(m+6)2=40,解得m1=-4,m2=0(舍去),

∴点D的坐标为(-4,-2),

∴点E的坐标为(-6,-8);

如图,当CD=CB时,四边形CBED为菱形,

∴CD2=CB2,∴2m2=40,解得m1=-25,m2=25(舍去),

∴点D的坐标为(-25,25-6),

∴点E的坐标为(2-25,25).

综上,存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,

点E的坐标为(-6,-8)或(2-25,25).

②设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6m0,

∵A(-6,0),B(2,0),∴抛物线的对称轴为直线x=-2,

∵直线BC的函数表达式为y=3x-6,直线l∥BC,

∴设直线l的表达式为y=3x+b,

∵点D的坐标(m,-m-6),

∴b=-4m-6,

∴M(-2,-4m-12),

∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N,

∴N(-2,-4),

∴MN=-4m-12+4=-4m-8,

∵S△DMN=S△AOC,

∴12(-4m-8)(-2-m)=1

整理得m2+4m-5=0,

解得m1=-5,m2=1(舍去),

∴点D的坐标为(-5,-1),

∴点M的坐标为(-2,8),

∴DM=(?2+5)2+(8+1

即DM的长为310.

3.如图,已知二次函数的图象顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图象上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M,N两点.

(1)求二次函数的表达式;

(2)P为平面内一点,当△PMN是等边三角形时,求点P的坐标;

(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点N,且与直线y=-1相切.若存在,求出点E的坐标,并求☉E的半径;若不存在,说明理由.

【解析】(1)∵二次函数的图象顶点在原点,

故设二次函数表达式为y=ax2,将(2,1)代入上式并解得a=14

故二次函数表达式为y=14x2

(2)将y=1代入y=14x2解得x=±2,故点M,N的坐标分别为(-2,1),(2,1),则MN

∵△PMN是等边三角形,

∴点P在y轴上且PM=4,∴PF=23;

∵点F(0,1),

∴点P的坐标为(0,1+23)或(0,1-23).

(3)存在.假设二次函数的图象上存在一点E满足条件,

设点Q是FN的中点,则点Q(1,1),

故点E在FN的中垂线上.

∴点E是FN的中垂线与y=14x2图象的交点

∴y=14×12=14,则点E为

在Rt△FQE中,EN=(2?1)2+

同理EF=(1?0)2+14?12=54,点E

故存在点E,使得以点E为圆心,半径为54的圆过点F,N且与直线y=-1相切

【B层·能力提升】

4.(2024·临夏州)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)如图