2025年北师大版中考数学总复习考点梳理第十五讲函数的综合.docxVIP

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第十五讲函数的综合

考点一函数与函数的综合

(1)一次函数与二次函数的综合

【例1】(2023·河南)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【方法小结】一次函数与二次函数综合需要综合应用二次函数的性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,利用数形结合的思想,要关注特殊点,如两个函数的交点,函数与坐标轴的交点等.

(2)一次函数与反比例函数的综合

【例2】(2023·安徽)已知反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示,则函数y=x2-bx+k

【方法小结】考点“一次函数与反比例函数的综合”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是熟练掌握计算法则.

(3)二次函数与反比例函数的综合

【例3】(2024·自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=n+1x在同一直角坐标系中图象如图所示,则

A.n-1 B.n2 C.-1n1 D.1n2

【方法小结】考点“二次函数与反比例函数的综合”近年来在中考选择题、填空题、解答题里都有出现,重点掌握反比例函数与二次函数的图象性质,掌握k对反比例函数与二次函数图象的影响是解题的关键.

考点二函数与几何图形的综合

(1)函数与三角形的综合

【例4】(2024·遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式;

(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;

(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.

【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解;

(2)当△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,且点P,C关于抛物线对称轴对称,设Q(m,m2-2m-3),运用勾股定理列式,即可求解;

(3)设直线PQ交x轴于点H,由S△OPQ=S△OHP-S△OHQ=12OH×(yQ-yP),即可求解

【解析】(1)由题意得:y=a(x+1)(x-3),且过点C(0,-3),则-3a=-3,解得a=1,

∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3;

(2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,抛物线的对称轴为直线x=1,

∵点P,C关于抛物线对称轴对称,∴点P(2,-3),

设Q(t,t2-2t-3),

∵∠OPQ=90°,

∴OP2+PQ2=OQ2,

∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-t)2+(-3-t2+2t+3)2]=(0-t)2+(0-t2+2t+3)2,

整理得:3t2-8t+4=0,

解得t1=23,t2

∴t=23

∴Q(23,-35

(3)存在,理由:

设点P(m,m2-2m-3),则点Q(m+1,(m+1)2-2(m+1)-3),设直线PQ交x轴于点H,

由点P,Q的坐标得,直线PQ的表达式为:

y=(2m-1)(x-m)+m2-2m-3,

令y=0,则x=m2-2

则OH=m2-2

则S=S△OHP-S△OHQ=12OH×(yQ-yP)=12×(m2-2m-31-2m+m

=12(m2+m+3)=12(m+12)2+11

即当m=-12时,S有最小值,最小值为11

【方法小结】考点“函数与三角形的综合”中考中多以解答题的形式出现.注重考查函数图象的交点与方程的解的联系,同时也注重考查利用待定系数法设点的坐标及利用数形结合的思想解决问题的能力.

(2)函数与四边形的综合

【例5】(2024·赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(mn0),下列结论正确的是(B)

A.m+n=1 B.m-n=1

C.mn=1 D.mn

【例6】(2023·东营)如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.

【解析】(1)设抛物线解析式为y=ax(x-10),∵当t=2时,BC=4,

∴点C的坐标为(2,-4),

∴将点C坐标代入解析式