2020全国1卷椭圆解答题.docxVIP

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1．（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.

（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

????

由椭圆方程可得：，，

，

，

椭圆方程为：

（2）[方法一]：设而求点法

证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．

故直线CD过定点．

[方法二]【最优解】：数形结合

设，则直线的方程为，即．

同理，可求直线的方程为．

则经过直线和直线的曲线的方程可写为．

可化为．④

易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．

故，可得或．

其中表示直线，则表示直线．

令，得，即直线恒过点．

【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.

第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.