2025年初中数学人教版九年级下册 28.2.2应用举例 课件(共39张PPT).pptxVIP

28.2.2应用举例

第二十八章锐角三角函数

素养目标

1.了解俯角、仰角、方位角、坡度、坡角等相关概念；重点

2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型,重难点并运用解直角三角形求解；

3.将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力.

知识回顾

解直角三角形的依据有哪些?

(1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系：

1.sinA=(边)=(“)

2.cosA=(∠A边)=()

3.tanA=()=()

A的邻边

A的对边

边

邻

斜

的

斜边

A的对

锐角

邻边、对

解直角三角形的两种基本类刑

边或斜边

①已知一角一边，解直角三角形；

②已知两边，解直角二角形

两条直角边，或斜边和一条直角边

知识回顾

根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型?

在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元

素(至少有一个是边),可求出其余的未知元素(知二求三)

新课导入

能否应用解直角三角形的相关知识解决一些实际生活中的问题呢?

下面我们开始本节课的学习，解直角三角

形在实际问题中的应用

探究新知

【探究一】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现

交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位

置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?

探究新知

【思考】能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?

从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点.

你能将这个问题抽象成数学问题吗?

本题可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙0的有关问题：

其中点F是组合体的位置，FQ是⊙0的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点

所以PQ的长就是地球表面上P,Q两点间的距离

探究新知

探究新知

怎样可以求出PQ的长?

解：在图中，FQ是⊙0的切线，△FOQ是直角三角形.

≈0.9491,

∴a≈18.36°.

∴PQ的长

FQ是⊙0的切线，

∠FQ0为直角.

最远点

求PQ的长，要先求∠POQ的度数

探究新知

【归纳】利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：

1.将实际问题抽象为数学问题；

画出平面图形，转化为解直角三角形的问题

2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等

去解直角三角形；

3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.

探究新知

【探究二】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰

角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离

为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?B

C

【提问】什么是俯角、仰角?

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角

视线

水平线

仰角

俯角

探究新知

眼睛

铅垂线

视线

分析：我们知道，在视线与水平线

所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°.

在Rt△ABD中，a=30°,AD=120,

所以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.即求出这栋楼的高度.

仰

a

β

角B

D

A

俯角

探究新知

水平线

C

探究新知

解：如图，a=30°,β=60°,AD=120.

∴BD=AD·tana=120×tan30°

CD=AD·tanβ=120×tan60°

=120×√3=120√3(m).

∴BC=BD+CD=40√3+120√3

C

=160√3≈277(m).答：这栋楼高约为277m.

D

水平线

a

Aβ

俯角

仰角B

【归纳】解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法：

根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形的方法进行解答.

归纳总结

如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点A处，测

得塔顶C的仰角为30°,然后沿着AD的方向前进60m,到达B点，在