16.1二次根式 课件(共34张PPT)2025年人教版初中数学八年级下册.pptxVIP

16.1二次根式

第十六章二次根式

素养目标

1.理解二次根式的概念；

2.探究二次根式有意义的条件重点

3.理解二次根式的双重非负性重点重点

4.探究二次根式的性质，理解其意义，并会运用二次根式的

性质进行化简计算；

5.在探究、讨论的过程中学会由特殊到一般地归纳方法.

知识回顾

1.什么是一个数的平方根?如何表示?

一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫作a的平方根，用Na(a≥0)表示.

2.什么是一个数的算术平方根?如何表示?

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记作√a(a≥0).

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

(1)面积为3的正方形的边长为√3,面积为S的正方形的边长为√S.

(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m²,

/

130

则它的宽为√65

新知导入

S

m.

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)

与开始落下时离地面的高度h(单满足关系h=5t2.如

果用含有h的式子表示t,那么t

你发现这些结果有哪些共同特征?

新知导入

h=5t2

探究新知

上面问题中，得到的结果分别是

【问题1】这些式子分别表示什么意义?

分别表示65,S,3,的算术平方根.

【问题2】这些式子有什么共同特征?

①根指数都为2;

②被开方数为非负数.

归纳总结

一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号.

二次根号

根号a

被开方数

①外貌特征：含有√两个必备特征

②内在特征：被开方数a≥0

【注意】1.被开方数a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；2.2厂中一般把根指数2省略，写成√.

练习1下列各式中一定是二次根式的是(C)

A.√-7B.√ac.√a²+1D.3

解析：A、-70,√-7不是二次根式，不符合题意；B、当a0时，Ja不是二次根式，不符合题意；

C、a²+10,√a²+1是二次根式，符合题意；

D、/3根指数是3,不是二次根式，不符合题意.故答案为：C.

练一练

【问题1】是否存在√-2,为什么呢?

不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.

【问题2】当x是怎样的实数时，Jx-2在实数范围内有意义?

解：由x-2≥0,得x≥2.

当x≥2时，√x-2在实数范围内有意义.

探究新知

归纳总结

二次根式有意义的条件

√a只有在满足条件a≥0时才叫二次根式.即a≥0是√a为二次根式的前提条件.

1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反之也成立，即：

√a有意义→a≥0.

2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之也成立，即：

√a无意义→a0.

解：(1)由题意得x-10,∴x1.

解：(2)由3+x≥0,得，x≥-3.

∵分母不能等于零，∴x-1≠0,∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?

练一练

【总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.

若式子为分式，应同时考虑分母不为零.

归纳总结

探究新知

【问题1】当x是怎样的实数时，√x²在实数范围内有意义?/x³呢?

解：由x²≥0,得x是任意实数，

∴当x为任意实数时Nx²都有意义.

由x³≥0,得x≥0,

∴当x≥0时，√x³有意义.

探究新知

【问题2】二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么?它本身的取值范围又是什么?

当a0的时候，Ja表示a的算术平方根，则√a0;

当a=0的时候，Ja表示0的算术平方根，则√a=0;

当a≥0时Na是非负数，即√a≥0.

归纳总结

二次根式的双重非负性

二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式√a,我们知道：

(1)a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0;

(2Na表示一个数或式的算术平方根，可知√a≥0.

二次根式的被开方数非负

二次根式的值非负

二次根式的双重非负性

根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么?

a(a≥0)Ja(Ja)

4√4=222=|4

(J