2025年微分几何期末试题二及答案 .pdfVIP

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

微分几何期末试题二及答案

考试试题：

1.在欧几里德三维空间中，曲面S由以下方程给出：

\[x^2+y^2+z^2=1+z\]

(a)判断点P(1,0,1)是否在曲面S上，并给出理由。

(b)计算曲面S的法向量函数N(x,y,z)。

2.考虑曲面S，该曲面是由以下参数方程生成的：

\[x=u^2+v^2,\quady=u-v,\quadz=2v^2-u^2\]

(a)求曲面S上任意一点的切平面方程。

(b)求曲面S在点P(1,0,1)处的法向量。

3.考虑下列空间曲线C：

\[\begin{cases}x=t+1\\y=t^2\\z=e^t\end{cases}\]

(a)求曲线C上任意一点处的切向量。

(b)计算曲线C在点P(2,4,e)处的切线方程。

4.考虑以下空间曲线C：

\[\begin{cases}x=e^t\cost\\y=e^t\sint\\z=e^t\end{cases}\]

(a)计算曲线C的曲率。

(b)求曲线C上一点处的法向量。

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

答案及解析：

1.(a)我们需要判断点P(1,0,1)是否满足曲面方程\[x^2+y^2+z^2=

1+z\]。将点P的坐标代入方程得：

\[1^2+0^2+1^2=1+1\]

即\[2=2\]，因此点P(1,0,1)满足曲面方程，所以点P在曲面S上。

(b)曲面S的方程为\[x^2+y^2+z^2=1+z\]。我们可以将其重新

排列为\[x^2+y^2+z^2-z-1=0\]，然后对其求梯度得到法向量函数

N(x,y,z)：

\[\nablaf=(2x,2y,2z-1)\]

2.(a)曲面S的参数方程为\[x=u^2+v^2,\quady=u-v,\quadz=

2v^2-u^2\]。对其进行求偏导得到切向量：

\[\mathbf{T}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partialu}\times

\frac{\partial\mathbf{r}}{\partialv}\]

其中，

\[\frac{\partial\mathbf{r}}{\partialu}=(2u,1,-2u)\]

\[\frac{\partial\mathbf{r}}{\partialv}=(2v,-1,4v)\]

进行向量叉乘得到切向量：

\[\mathbf{T}=(1+8uv,2u+2v,-2u-4v-2u^2-4v^2)\]

切向量即为切平面的法向量。

百学须先立志。——朱熹

(b)要求点P(1,0,1)处的法向量，将点P的坐标代入切向量的表达

式中得：

\[\mathbf{T}=(1+8u\cdot0,0+2\cdot0,-2\cdot1-4\cdot0-2\cdot1^2-