微分几何》复习资料 期末考试试题及参考答案 完整版2025.pdfVIP

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

《微分几何》复习资料1

一判断题

1.曲面的结构方程指的是Gauss-Bonnet公式（）。

2.任何曲面上的直线都是测地线（）。

3.曲面的第一基本形式与参数的选取无关()。

4.圆柱面上的直线都是测地线（）。

5.两曲面的第二基本形式不同则其Gauss曲率不同()。

6.如果一个一一对应保持两张曲面间的任意曲线的长度不变，则称该对应为这两个曲面的等距变换（）。

7.曲面的第一、二基本形式都与参数的选取无关()。

8.两曲面的第二基本形式与其主曲率没有关系()。

9.可以作为曲面的第一基本形式（）。

0.曲面的协变微分是平面上普通微分的推广()。

二计算题

1.求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲

线的测地曲率.

2.求二次曲面的法曲率。

3.求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法

线、副法线。

三问答题

证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。

答案

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

一判断题

1-5FTTTF6-10TFFFT

二计算题

1.求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲

线的测地曲率.

2.求二次曲面的法曲率。

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

3.求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法

线、副法线。

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

三问答题

证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

《微分几何》复习资料2

一、计算题

1、在曲线x=coscost，y=cossint，z=tsin的副法线的正向取单位长，

求其端点组成的新曲线的密切平面。





2、已知曲线33，⑴求基本向量；⑵曲率和挠率。

r{cost,sint,cos2t},,

1

3、求出抛物面z(ax2by2)在(0，0)点沿方向(dx:dy)的法曲率。

2

r

4、求曲面r(cosu,sinu,v)上曲线uv的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此

曲线的测地曲率.

二、证明题

r12

1、证明曲面2342是可展曲面。

r(uv,2uuv,uuv)

33

r

2、向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是