2025年必威体育精装版1月浙江自考微分几何试题及答案解析 .pdfVIP

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

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浙江省2025年1月自考微分几何试题

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一、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。()

2.挠曲线上点挠率一定不等于零。()

3.平面曲线的曲率一定为零。()

4.球面上的测地线一定是大圆弧。()

5.在局部范围内，可展曲面与平面之间可建立一个等距变换。()

6.设P为曲面上的抛物点，则P点的杜邦（Dupin）指标线是一条非退化的抛物线。()

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.曲率与挠率成比例的曲线为________。

2.半径为R的圆的自然方程是________。

3.曲面在某一点处有________，这种点为曲面的脐点。

4.设曲面的第一基本形式为I=Edu2+Gdv2，则u曲线和v曲线的位置关系为________。

5.仅由第一基本形式所确定的曲面的性质在________变换下保持不变。

6.设曲面在点P处有两个异号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的________。

三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.求r(t)={sint+t,1-cost}的正常点。

2.求曲线r(t)={sint,cos2t,t2}在t=0处的切线方程。

3.求曲面r={ucosv,usinv,u+v}的第一基本形式。

4.在第一基本形式为I=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长公式。

5.证明曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大和最小值。

E

2

6.证明：对曲面r=r(u1,u2)有r11·r2=F1-2。

1

英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

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四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1.求曲线r(t)={3t-t3,3t2,3t+t3}的挠率。

2.证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这曲线是平面曲线或直线。

3.求曲面2z=x2+y2在点{0,0,0}处的高斯曲率和平均曲率。

tt

4.证明正螺面r={ucosv,usinv,av}与悬链面r={acoshacosθ,acoshasinθ,t}建立等距对应为

t

a

u=asinh,v=θ.

2