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北华大学离散数学试卷

一、选择题

1.下列关于集合的叙述中，正确的是（）

A.集合是由元素构成的

B.元素是构成集合的基本单位

C.元素可以是集合

D.集合可以是集合

2.设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则集合A∩B=（）

A.{2，3}

B.{1，2，3}

C.{2，3，4}

D.空集

3.设集合A={1，2，3}，集合B={x|x≤2}，则集合A∪B=（）

A.{1，2}

B.{1，2，3}

C.{1，2，3，4}

D.空集

4.设函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，则f(g(x))=（）

A.x^2+1

B.(x+1)^2

C.x^2+x+1

D.x^2-x+1

5.下列关于逻辑命题的叙述中，正确的是（）

A.一个命题要么是真的，要么是假的

B.命题的否定是另一个命题

C.命题的否定与原命题具有相同的真假性

D.命题的否定与原命题的真假性无关

6.设命题p：2+2=4，命题q：2+3=5，则命题“p且q”的真假性是（）

A.真

B.假

C.无法确定

D.未知

7.设集合A={1，2，3}，集合B={x|x是偶数}，则集合A∩B=（）

A.{1，2}

B.{2，3}

C.{2}

D.空集

8.设函数f(x)=x^3，g(x)=x^2，则f(g(x))=（）

A.x^6

B.x^4

C.x^3

D.x^5

9.下列关于关系命题的叙述中，正确的是（）

A.关系命题是复合命题

B.关系命题是简单命题

C.关系命题是命题的否定

D.关系命题是命题的逆命题

10.设集合A={1，2，3}，集合B={x|x≥2}，则集合A∪B=（）

A.{1，2}

B.{1，2，3}

C.{2，3}

D.空集

二、判断题

1.在关系数据库中，一个关系就是一张二维表，其中每一行代表一个元组，每一列代表一个属性。（）

2.在逻辑代数中，一个函数可以从一个集合映射到另一个集合，且每个输入值对应一个输出值。（）

3.在图论中，一个有向图中的每个顶点都必须有入边和出边，这样的图称为强连通图。（）

4.在集合论中，两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。（）

5.在离散数学中，一个递归关系可以通过一个初始条件和至少一个递归步骤来定义。（）

三、填空题

1.在集合论中，两个集合的笛卡尔积是指所有可能的有序对组成的集合，记作A×B，其中A和B分别是集合，若A有n个元素，B有m个元素，则A×B有______个元素。

2.在图论中，一个顶点的度是指与该顶点相连的边的数量，无向图中的度通常表示为______。

3.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数表示为C(n,k)，其计算公式为______。

4.在逻辑代数中，德摩根定律的一个表达式是：?(A+B)=?A______?B。

5.在离散数学的递归定义中，一个递归关系通常包括一个______和一个或多个______。

四、简答题

1.简述集合论中的基数概念及其在数学中的作用。

2.解释图论中什么是连通图，并给出判断一个图是否连通的方法。

3.描述如何使用二分查找算法在有序数组中查找一个元素，并说明其时间复杂度。

4.解释什么是哈希表及其主要优点和潜在问题，并简要介绍一种解决哈希冲突的方法。

5.简要介绍递归算法的设计原则，并举例说明递归算法在解决数学问题中的应用。

五、计算题

1.计算以下逻辑表达式的真值表：

(?(p∧q))∨(p∨?q)

2.有一个集合A包含10个元素，从中随机取出3个元素组成一个有序三元组，计算有多少种不同的取法。

3.设图G是一个无向图，包含5个顶点和7条边，计算图G的邻接矩阵的元素值。

4.已知函数f(x)=3x-2，求其反函数f^(-1)(x)。

5.设递归关系T(n)=2T(n-1)+1，且T(0)=1，计算T(3)。

六、案例分析题

1.案例分析：社交网络中的好友推荐系统

案例背景：某社交网络平台想要开发一个好友推荐系统，该系统需要根据用户的兴趣、好友列表以及社交行为等因素，向用户推荐可能成为好友的新用户。

问题：请分析并设计一个基于图论的好友推荐算法，说明算法的基本原理和实现步骤。

2.案例分析：在线教育平台的课程选择算法

案例背景：一个在线教育平台提供了多种课程供用户选择，用户根据自己的兴趣和职业规划来选择课程。然而，由于课程众多，用户在选择课程时可能会感到困惑。

问题：请分析并设计一个基于组合优化的课程选择算法，该算法能够帮助用户从众多课程中快速、有效地选择出最适合自己的课程组合。说明算法的目标、约束条件和实现思路。