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北大保送生数学试卷

一、选择题

1.设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，则\(f(x)\)的极值点为（）

A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=-1\)D.\(x=3\)

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)等于（）

A.1B.2C.0D.无穷大

3.已知\(\int_{0}^{1}(x^2+2x)\,dx=\)（）

A.1B.2C.3D.4

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{2x}\)等于（）

A.1B.2C.0D.无穷大

5.设\(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-2}{x-1}=3\)，则\(f(1)\)等于（）

A.1B.2C.3D.4

6.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)，则\(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln2x}{2x}\)等于（）

A.0B.1C.2D.无穷大

7.设\(\int_{1}^{2}(3x^2+4)\,dx=\)（）

A.1B.2C.3D.4

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\)等于（）

A.1B.2C.0D.无穷大

9.设\(f(x)\)在\(x=1\)处连续，且\(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-2}{x-1}=3\)，则\(f(1)\)等于（）

A.1B.2C.3D.4

10.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)，则\(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln2x}{2x}\)等于（）

A.0B.1C.2D.无穷大

二、判断题

1.函数\(f(x)=\sqrt{x}\)在其定义域内是连续的。（）

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)存在且等于1。（）

3.定积分\(\int_{0}^{1}x^2\,dx\)的值为1。（）

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\)等于3。（）

5.若函数\(f(x)\)在区间[a,b]上连续，则\(f(x)\)在该区间内必定存在最大值和最小值。（）

三、填空题

1.函数\(f(x)=e^x\)的导数\(f(x)\)为______。

2.若\(\int_{0}^{2}x^2\,dx=8\)，则\(\int_{1}^{3}x^2\,dx\)的值为______。

3.在直角坐标系中，点\((2,3)\)到原点\((0,0)\)的距离是______。

4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{\sinx}\)的值为______。

5.函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)在\(x=2\)处的切线斜率\(f(2)\)为______。

四、简答题

1.简述函数极限的概念，并举例说明。

2.解释什么是导数，并给出求导的基本法则。

3.如何求解不定积分\(\intx^3\,dx\)？

4.请说明定积分的性质，并举例说明。

5.解释拉格朗日中值定理的内容，并给出一个应用实例。

五、计算题

1.计算定积分\(\int_{0}^{2}(3x^2-4x+2)\,dx\)的值。