重难点02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.pdf

重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】

【新高考专用】

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】2

【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】4

【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】6

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】9

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】11

【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】14

一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内

容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法

灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、

“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力

都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.

【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】

1．一元二次不等式恒成立、能成立问题

2

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax＋bx＋c0，它的解集

为R的条件为Error!

2

一元二次不等式ax＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为Error!

2

一元二次不等式ax＋bx＋c0的解集为∅的条件为Error!

2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成

立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的

范围，谁就是参数.

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①若ax+bx+c0恒成立，则有a0，且△0；若ax+bx+c0恒成立，则有a0，且△0.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求

谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列

式求解.

4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

(1)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)max；

若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)min；

若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≤f(x)min.

(2)对任意的x∈[m,n]，af(x)恒成立af(x)min；

若存在x∈[m,n]，af(x)有解af(x)max；

若对任意x∈[m,n]，af(x)无解a≥f(x)max.

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

2

−2+40

【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围

是（）

A．(−∞,−2)B．(−∞,−4)C．(−4,4)D．(−2,2)

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