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北大期末数学试卷

一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)=\text{？}$（）

A.$3x^2-6x$

B.$3x^2-6$

C.$3x^2-6x+2$

D.$3x^2-6x-2$

2.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+2$，则数列的第4项$a_4=\text{？}$（）

A.4

B.5

C.6

D.7

3.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则$A^2=\text{？}$（）

A.$\begin{bmatrix}710\\1522\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}712\\2132\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}714\\2128\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}710\\2130\end{bmatrix}$

4.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项为3，公差为2，则数列的第10项$a_{10}=\text{？}$（）

A.17

B.18

C.19

D.20

5.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f(2)=\text{？}$（）

A.1

B.3

C.5

D.7

6.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+2$，则数列的前10项和$S_{10}=\text{？}$（）

A.110

B.120

C.130

D.140

7.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\text{？}$（）

A.$\begin{bmatrix}2-1\\-31\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}12\\-34\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}1-2\\34\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}2-3\\14\end{bmatrix}$

8.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项为2，公比为3，则数列的第5项$a_5=\text{？}$（）

A.54

B.63

C.72

D.81

9.设函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f(x)=\text{？}$（）

A.$6x^2-6x+4$

B.$6x^2-6x+3$

C.$6x^2-6x+2$

D.$6x^2-6x+1$

10.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+2$，则数列的前5项和$S_5=\text{？}$（）

A.10

B.15

C.20

D.25

二、判断题

1.函数$f(x)=x^3$在定义域内是单调递增的。（）

2.矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。（）

3.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

4.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，则$f(x)$在$(a,b)$内一定连续。（）

5.等比数列的通项公式为$a_n=a_1r^{n-1}$，其中$r$为公比。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=3x^2-2x+1$在$x=1$处可导，则$f(1)=\text{？}$（）

2.矩阵$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$的行列式为$\text{？}$（）

3.等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}=\text{？}$（）

4.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f(1)=\text{？}$（）

5.等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=2$，公比$r=3$，则第5项$a_5=\text{？}$（）

四、简答题

1.简述函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在区间$[0,3]$上的单调性，并求出其单调递增和递减的区间。

2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，求矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和$S_5=50$，公差$d=3$，求该数列的第一项$a_1$。

4.设函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1