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北大老师高考数学试卷

一、选择题

1.在数学分析中，下列哪个函数在区间[0,1]上连续，但不可导？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(1/x)

D.f(x)=e^x

2.若函数f(x)在区间[0,1]上满足f(x)≤0，则下列哪个结论一定成立？

A.f(0)≥f(1)

B.f(0)≤f(1)

C.f(0)≥f(1)

D.f(0)≤f(1)

3.已知数列{an}满足an+1=an+1/n^2，且a1=1，则数列{an}的极限是？

A.2

B.1+∑(1/n^2)

C.1

D.无穷大

4.设矩阵A=[a11a12;a21a22]，若A的行列式|A|=1，则下列哪个结论成立？

A.a11=a22

B.a21=a12

C.a11*a22=1

D.a11+a22=1

5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x在区间[0,1]上单调递增，则下列哪个结论成立？

A.f(0)f(1)

B.f(0)f(1)

C.f(0)=f(1)

D.f(0)+f(1)=0

6.在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-3,4)的连线的中点坐标是？

A.(-1,3)

B.(-2,3)

C.(-1,3.5)

D.(-2,3.5)

7.已知数列{an}满足an+1=an*(1-an)，且a1=0.5，则数列{an}的极限是？

A.0

B.1

C.0.5

D.无穷大

8.设函数f(x)=e^x-x在区间[0,1]上单调递增，则下列哪个结论成立？

A.f(0)f(1)

B.f(0)f(1)

C.f(0)=f(1)

D.f(0)+f(1)=0

9.已知函数f(x)=x^2-2x+3在区间[0,1]上单调递增，则下列哪个结论成立？

A.f(0)f(1)

B.f(0)f(1)

C.f(0)=f(1)

D.f(0)+f(1)=0

10.在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)的连线的中点坐标是？

A.(2,3)

B.(2,2)

C.(2.5,3)

D.(2.5,2)

二、判断题

1.在微积分中，导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。（）

2.任意两个n维向量都存在唯一的线性组合等于零向量。（）

3.在线性代数中，如果一个矩阵的秩等于其列数，则该矩阵必定可逆。（）

4.在数列极限的概念中，如果数列的项趋于无穷大，则该数列一定有极限。（）

5.在解析几何中，一个二次曲线的焦点和准线的位置与该曲线的开口方向无关。（）

三、填空题

1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)的导数f(x)=_______。

2.已知矩阵A=[21;32]，其行列式|A|=_______。

3.在数列{an}中，若an=3n-2，则该数列的第4项an=_______。

4.函数f(x)=e^x-x在区间[0,1]上的积分∫(0to1)f(x)dx=_______。

5.在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为_______。

二、判断题

1.若一个函数在其定义域内连续且可导，则其导数在该定义域内一定连续。（）

2.在实数范围内，任意两个无理数之和一定是无理数。（）

3.在平面直角坐标系中，两条平行线之间的距离是固定的。（）

4.对于任意正整数n，数列{1,2,3,...,n}的和等于n(n+1)/2。（）

5.在数列{an}中，若an+1=an+1/n，则该数列的极限是无穷大。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=x^3-3x^2+4x在区间[0,1]上的导数f(x)是单调递增的，则f(x)在该区间上的最大值是______。

2.若矩阵A是可逆的，则A的行列式|A|的值是______。

3.在平面直角坐标系中，点A(1,2)关于y轴的对称点是______。

4.数列{an}满足an+1=an+1/n^2，且a1=1，则数列{an}的极限是______。

5.若函数f(x)=e^x在区间[0,1]上单调递增，则f(x)在该区间上的最小值是______。

四、简答题

1.简述数列收敛的定义，并举例说明。

2.解释什么是函数的导数，并说明导数在几何上的意义。

3.如何求一个二次函数的顶点坐标？

4.简述矩阵的秩的概念