专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）（精练）（解析版）.pdf

专题03空间几何（解答题10种考法）

1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，PAPBABAD2，BC4，AD//BC

ADABACBDOOPAB

，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

(1)若平面分别交PC，BC于点E，F，求OEF的周长；

(2)当PD22时，求平面与平面PCD夹角的正弦值.

【答案】(1)4

25

(2)5.

【解析】（1）由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，

1

ADBC

∴△AOD△COB与相似，又2，

11

AOOCODOB

∴2，2，

因为过点O作平行于平面PAB的面分别交PC，BC于点E，F，

即平面OEF//平面PAB，平面OEF平面PBCEF，平面PBC平面PABPB，

平面OEF平面PACOE，平面PAC平面PABPA，

平面OEF平面ABCOF，平面ABC平面PABAB，

由面面平行的性质定理得OE//PA，OF//AB，EF//PB，

ABAPPB3



所以PABOEF与相似，相似比为3:2，即OFOEEF2，

PABOEF4

因为的周长为6，所以的周长为.

（2）∵平面//平面PAB，∴平面与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等，

∵AD2，PA2，PD22，∴PD2AD2PA2，

∴ADPA，又ADAB，ABPAA，AB,PA平面PAB，∴AD平面PAB，

AD平面ABCD，∴平面PAB平面ABCD，

取AB的中点G，因为ABC为等边三角形，∴PGAB，平面PAB平面ABCDAB，

PG平面PAB，∴PG平面ABCD，

AABxADyAPGz

以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所

示空间直角坐标系，





则A0,0,0，D0,2,0，P1,0,3，C2,4,0，AD0,2,0，DC2,2,0，DP1,2,3，



设平面PCD的法向量nx,y,z，





DCn02x2y0







DPn0