2025年北师大版中考数学总复习专题十函数中的面积问题.docxVIP

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专题十函数中的面积问题

【A层·基础过关】

1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是(D)

2.如图,点P(m,1),点Q(-2,n)都在反比例函数y=4x的图象上.过点P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为点M,N.连接OP,OQ,PQ.若四边形OMPN的面积记作S1,△POQ的面积记作S2

A.S1∶S2=2∶3 B.S1∶S2=1∶1

C.S1∶S2=4∶3 D.S1∶S2=5∶3

3.如图,OC交双曲线y=kx于点A,且OC∶OA=5∶3,若矩形ABCD的面积是8,且AB∥x轴,则k

A.18 B.50 C.12 D.200

4.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,与双曲线y=kx(k≠0)在一、三象限分别交于C,D两点,AB=12BC,连接CO

(1)求k的值;

【解析】(1)在y=x+2中,令x=0得y=2,令y=0得x=-2,

∴A(0,2),B(-2,0),

∵AB=12BC

∴A为BC中点,

∴C(2,4),

把C(2,4)代入y=kx得4=k2,解得

∴k的值为8;

(2)求△CDO的面积.

【解析】(2)由y=x+2y=

∴D(-4,-2),

∴S△DOC=S△DOB+S△COB=12×2×2+1

∴S△CDO=6.

【B层·能力提升】

5.(2024·包头)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-2x2+bx+c与x轴相交于A(1,0),B两点(点A在点B左侧),顶点为M(2,d),连接AM.

(1)求该抛物线的函数表达式;

【解析】(1)∵顶点为M(2,d),

∴-b-

∴b=8,

∴y=-2x2+8x+c,将点A(1,0)代入y=-2x2+8x+c,

∴-2+8+c=0,解得c=-6,

∴抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6;

(2)如图1,若C是y轴正半轴上一点,连接AC,CM.当点C的坐标为(0,12)时,求证:∠ACM=∠BAM

【解析】(2)∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2,

∴M(2,2),

过点M作MN⊥x轴交于点N,

∵A(1,0),C(0,12

∴AC=52,AM=5,CM=5

∵CM2=AC2+AM2,

∴△ACM是直角三角形,且∠CAM=90°,

∴tan∠ACM=2,

在Rt△AMN中,tan∠MAB=2,

∴∠ACM=∠BAM;

(3)如图2,连接BM,将△ABM沿x轴折叠,折叠后点M落在第四象限的点M处,过点B的直线与线段AM相交于点D,与y轴负半轴相交于点E.当BDDE=87时,3S△ABD

【解析】(3)3S△ABD=2

∵M(2,2),

∴M(2,-2),过点D作DH⊥x轴交于H点,

∵OE∥DH,

∴BHOH=DHOE=BDDE

当y=0时,-2x2+8x-6=0,解得x=1或x=3,

∴B(3,0),

∴3-xD

解得xD=75

设直线AM的表达式为y=kx+m,

∴k+m=0

∴直线AM的表达式为y=-2x+2,

∴D(75,-4

∴AD=255,DM=

设B点到AM的距离为h,

∴3S△ABD=12×3×255h=355h,2S△M

∴3S△ABD=2

【C层·素养挑战】

6.(2024·广州模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且自变量x的部分取值与对应函数值y如表:

x

…

-1

0

1

2

3

…

y

…

0

3

4

3

0

…

(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;

【解析】(1)由题中表格可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象过(-1,0),(0,3),(3,0),

∴a-

解得a=

∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3;

(2)如图,连接BC,在直线BC上方抛物线上是否存在一点P,当点P运动到什么位置时,△PCB的面积最大?求出此时P点的坐标和△PCB的最大面积.

【解析】(2)过P作PH∥y轴交BC于H,如图:

设P(m,-m2+2m+3),0m3,

∵B(3,0),C(0,3),

∴直线BC的表达式为y=-x+3,

∴H(m,-m+3),

∴PH=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

∴S△PCB=12PH·|xB-xC|=12×(-m2+3m)×3=-32(m-3

∵-32

∴当m=32时,S△PCB

此时P的坐标为(32,15

(3)将线段AB先向右平移1个单位,再向上平移6个单位,得到线段EF,若抛物线y=n(ax2+bx+c)与线段EF只有一个公共点,请直接写出n的取值范围.

【解析】(3)∵A(-1,0),B(3,0),

将线段AB先向右平移1个单