专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题（9大核心考点）（讲义）（解析版）.docx

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专题04灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题

【目录】

TOC\o1-3\h\z\u 1

2

3

6

11

考点一：函数单调性的综合应用 11

考点二：函数的奇偶性的综合应用 13

考点三：已知f(x)=奇函数+M 17

考点四：利用轴对称解决函数问题 20

考点五：利用中心对称解决函数问题 22

考点六：利用周期性和对称性解决函数问题 25

考点七：类周期函数 29

考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 32

考点九：函数性质的综合 36

从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．

考点要求

考题统计

考情分析

函数的性质

2023年新高考II卷第4题，5分

2023年新高考I卷第4题，5分

2022年乙卷第12题，5分

2022年新高考II卷第8题，5分

2021年甲卷第12题，5分

2021年新高考II卷第8题，5分

【命题预测】

预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：

（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．

（2）热点是单调性、奇偶性、对称性结合在一起．

1、单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与的大小关系；

④得出结论．

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

（3）记住几条常用的结论：

①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；

③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．

2、奇偶性技巧

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．

（2）奇偶函数的图象特征．

函数是偶函数函数的图象关于轴对称；

函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．

（3）若奇函数在处有意义，则有；

偶函数必满足．

（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．

（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．

（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．

对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．

（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．

（8）常见奇偶性函数模型

奇函数：=1\*GB3①函数或函数．

=2\*GB3②函数．

=3\*GB3③函数或函数

=4\*GB3④函数或函数．

注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．

偶函数：=1\*GB3①函数．

=2\*GB3②函数．

=3\*GB3③函数类型的一切函数．

④常数函数

3、周期性技巧

4、函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；

（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；

（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．

5、对称性技巧

（1）若函数关于直线对称，则．

（2）若函数关于点对称，则．

（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．

1．（2023?新高考Ⅱ）若为偶函数，则

A． B．0 C． D．1

【答案】

【解析】由，得或，

由是偶函数，

，

得，

即，

即，

则，

，得，

得．

故选：．

2．（2023?新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，

是的增函数，

要使在区间单调递减，

则在区间单调递减，

即，即，

故实数的取值范围是，．

故选：．

3．（2023?乙卷）已知是偶函数，则

A． B． C．1 D．2