2025年北师大版中考数学总复习专题十五隐形圆的应用.docxVIP

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专题十五隐形圆的应用

【A层·基础过关】

1.直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于点M,N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点,直线AN与MC相交于点P,若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点(0,2)长度的最小值是(A)

A.22-2 B.3-22

C.255

2.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足

∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为(B)

A.32 B.2 C.81313

3.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥BD,交AD于点E,连接BE,若∠ABE=20°,则∠AOE的大小是(C)

A.10° B.15° C.20° D.30°

4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为2.?

5.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是正方形内部一点,连接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,点P是AB边上一动点,连接PD,PE,则PD+PE的最小值为213-2.?

6.如图,已知正方形ABCD,点E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE折叠,点B落在F处,连接BF并延长,与∠DAF的平分线相交于点H,与AE,CD分别相交于点G,M,连接HC.

(1)求证:AG=GH;

【解析】(1)∵将△ABE沿直线AE折叠,点B落在F处,

∴∠BAG=∠GAF=12∠BAF,B,F关于AE对称,∴AG⊥BF,∴∠AGF

∵AH平分∠DAF,∴∠FAH=12∠FAD

∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=12∠BAF+12∠FAD=12(∠BAF+∠FAD)=1

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°,∴∠EAH=12∠BAD

∵∠HGA=90°,

∴△AGH是等腰直角三角形,∴GA=GH;

(2)若AB=3,BE=1,求点D到直线BH的距离;

【解析】(2)如图1,连接DH,DF,交AH于点N,

由(1)可知AF=AD,∠FAH=∠DAH,

∴AH⊥DF,FN=DN,

∴DH=HF,∠FNH=∠DNH=90°,

又∵∠GHA=45°,

∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN,

∴∠DHF=90°,

∴DH的长为点D到直线BH的距离,

由(1)知AE2=AB2+BE2,

∴AE=AB2+BE

∵∠BAE+∠AEB=∠BAE+∠ABG=90°,

∴∠AEB=∠ABG,

又∠AGB=∠ABE=90°,

∴△AEB∽△ABG,

∴AGAB=ABAE,BGBE

∴AG=AB2AE=9

∴BG=AB·BEAE=3×1

由(1)知GF=BG,AG=GH,∴GF=31010,GH=

∴DH=FH=GH-GF=91010-31010=3105.即点

(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时,∠BHC的大小是否变化?为什么?

【解析】(3)不变.理由如下:

方法一:连接BD,如图2,

在Rt△HDF中,DHDF=sin45°=2

在Rt△BCD中,CDBD=sin45°=2

∴DHDF=CD

∵∠BDF+∠CDF=45°,∠FDC+∠CDH=45°,∴∠BDF=∠CDH,

∴△BDF∽△CDH,

∴∠CHD=∠BFD,

∵∠DFH=45°,

∴∠BFD=135°=∠CHD,

∵∠BHD=90°,

∴∠BHC=∠CHD-∠BHD=135°-90°=45°.

方法二:

∵∠BCD=90°,∠BHD=90°,

∴点B,C,H,D四点共圆,

∴∠BHC=∠BDC=45°,

∴∠BHC的度数不变.

【B层·能力提升】

7.问题提出:

(1)如图1,已知△ABC,试确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;

【解析】(1)如图所示,有三个符合条件的平行四边形;

问题探究:

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使∠BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离;

【解析】(2)如图,

∵AB=4,BC=10,

∴取BC的中点O,则OBAB,

∴以点O为圆心,OB长为半径作☉O,☉O一定于AD相交于P1,P2两点,

连接P1B,P1O,P1C,

∵∠BPC=90°,点P不能在矩形外;

∴△BPC的顶点P在P1或P2位置时,△BPC的面积最大,

作P1E⊥BC,垂足为E,则OE=3,

∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2,

由对称性得AP2=8,

综上可知AP的长为2或8.

问题解决:

(3)如图3,有一座草根塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点