2025年北师大版中考数学总复习热点题型突破专题九定值问题.docxVIP

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专题九定值问题

定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置、直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.

类型一代数定值

利用代数法求定值时,经常带参数计算,当计算的结果与参数无关时,即是定值.

【例1】已知抛物线y=ax2经过点A(4,4).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,直线l经过点C(0,-1),且平行于x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过点E作EF⊥l,交抛物线于点F.求证:直线DF一定经过点G(0,1).

【解析】(1)∵抛物线y=ax2过点A(4,4),

∴16a=4,解得a=14,∴抛物线的解析式为y=14x

(2)设D(m,14m2)(m≠0),则直线DO的解析式为y=m4

∵l∥x轴,且过点C(0,-1),∴令y=-1时,m4x=-1,∴x=-4

∴直线DO与l交于点E(-4m

又∵EF⊥l,l∥x轴,∴点F的横坐标为-4m

∵点F在抛物线y=14x2上,∴点F的坐标为(-4m,4

设直线DF的解析式为y=kx+b,则有-4m

∴直线DF的解析式为y=m2-44mx

∴点G(0,1)满足直线DF的解析式,

∴直线DF一定经过点G.

类型二几何定值

定值问题关键在于探求定值,可根据符合条件的某种特殊位置(如中点)或取极端位置(如顶点)考察并猜出可能的定值,再通过计算或证明得出结论.

【例2】(2023·娄底)如图1,点G为等边△ABC的重心,点D为BC边的中点,连接GD并延长至点O,使得DO=DG,连接GB,GC,OB,OC.

(1)求证:四边形BOCG为菱形.

(2)如图2,以O点为圆心,OG为半径作☉O.

①判断直线AB与☉O的位置关系,并予以证明.

②点M为劣弧BC上一动点(与点B、点C不重合),连接BM并延长交AC于点E,连接CM并延长交AB于点F,求证:AE+AF为定值.

【思路点拨】(1)由等边三角形的性质得出GO⊥BC,且BD=DC即可得证;

(2)①直线AB与☉O的位置关系是相切,先由等边三角形的性质得出∠ABG=

∠GBO=30°,再结合菱形的性质即可得证;

②先求出∠BMC,再说明△BEC≌△CFA(ASA),从而得出AF=CE,结合AE+CE=AC可得AE+AF=AE+CE=AC,即AE+AF为定值.

【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,点G是重心,点D为BC边的中点,

∴连接点A,G,D,其所在直线是BC的垂直平分线,∴GO⊥BC,且BD=DC,

∵DO=DG,∴GO与BC互相垂直且平分,∴四边形BOCG是菱形;

(2)①直线AB与☉O的位置关系是相切,

证明:∵在等边△ABC中,∠ABC=60°,BG为∠ABC的平分线,

∴∠ABG=∠GBC=30°,∵四边形BOCG是菱形,

∴∠CBO=∠GBC=30°,∵∠ABO=∠ABG+∠GBC+∠CBO=90°,

∴AB⊥OB,OB为☉O的半径,即AB与☉O相切;

②∵∠BGC与∠BMC对应的弦为BC,

∴∠BMC=∠BGC=180°-60°=120°,

∴∠MBC=180°-120°-∠MCB=60°-∠MCB,

∵∠ACB=60°,∴∠ACF=60°-∠MCB,

∴∠ACF=∠MBC,∵∠BCE=∠A=60°,BC=AC,

∴△BEC≌△CFA(ASA),∴AF=CE,

∵AE+CE=AC,∴AE+AF=AE+CE=AC,即AE+AF为定值.

类型三代数定值和几何定值的综合应用

定值问题常先设一个未知数(参数),通过各种方法计算或运用基本方法、定理,最终消去这个未知数(参数),得到定值.

【例3】如图,抛物线y=ax2+c(a0,c0)与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.直线PA,PB与y轴分别交于E,F两点.当点P运动时,OE+OF

【思路点拨】过点P作PH⊥AB于点H,设P(x0,y0),B(b,0),根据对称性得出A点的坐标,把A点坐标代入y=ax2+c(a0,c0),得出关系式,证得△PAH∽△EAO,根据相似三角形的性质列出比例式,求出OE,OF的值,计算出OE+OF的值,进而求出OE+OF

【解析】过点P作PH⊥AB于点H,

设P(x0,y0),B(b,0),则A(-b,0),

∴ab2+c=0,y0=ax02+

∴c=-ab2,y0=a(x02-b2

∵∠EOA=∠PHA=90°,∠OAE=∠HAP,

∴△PAH∽△EAO,∴OEOA=PHHA,即OEb

∴OE=-by0x0+b=-ba(

同理OF=ab(b+x0).

∴OE+OF=-ab(x0-b)+ab(b+x0