2025年北师大版中考数学总复习热点题型突破专题十一动态探究问题.docx

8-

PAGE

专题十一动态探究问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静、以静制动,灵活运用有关数学知识解决问题.

“动点型问题”是近几年中考出现的必考类型,题型繁多、题意创新,考查学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,动点问题,特别是探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、特殊四边形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值,是近几年中考题的热点和难点.

类型一有关动点问题的函数图象

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.

【例1】(2023·河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC

A.6 B.3 C.43 D.23

【例2】(2023·武威)如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为(C)

A.(4,23) B.(4,4) C.(4,25) D.(4,5)

类型二有关动态几何型

点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.

(一)点动问题

【例3】已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于点A(6,0)和点B(-1,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交直线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标;

(3)如图(2),点M为抛物线对称轴l上一点,点N为抛物线上一点,当直线AC垂直平分△AMN的边MN时,求点N的坐标.

【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(6,0),B(-1,0),

∴a-b

∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6=-(x-52)2+49

∴抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,顶点坐标为(52,494

(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=-x2+5x+6,∴C(0,6),∴OC=6,

∵A(6,0),∴OA=6,∴OA=OC,∴∠OAC=45°,

∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,∴∠DPE=90°,∠PDE=∠DAO=45°,

∴∠PED=45°,∴∠PDE=∠PED,∴PD=PE,

∴PD+PE=2PE,∴当PE的长度最大时,PE+PD取最大值.

∵A(6,0),C(0,6),∴直线AC的解析式为y=-x+6,

设E(t,-t+6)(0t6),则P(t,-t2+5t+6),

∴PE=-t2+5t+6-(-t+6)=-t2+6t=-(t-3)2+9,

当t=3时,PE最大,此时,-t2+5t+6=12,∴P(3,12).

(3)如图(2),设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F,连接NF,

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上,∴FM=FN,∠NFC=∠MFC,

∵l∥y轴,∴∠MFC=∠OCA=45°,

∴∠MFN=∠NFC+∠MFC=90°,∴NF∥x轴,

由(2)知,直线AC的解析式为y=-x+6,当x=52时,y=7

∴F(52,72),∴点N的纵坐标为

设N的坐标为(m,-m2+5m+6),∴-m2+5m+6=72

解得m=5+352或m=

∴点N的坐标为(5+352,72)或(5-

(二)线动问题

【例4】如图,在等腰△ABC中,直线l垂直底边BC,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与△ABC的边相交于E,F两点.设线段EF的长度为y,平移时间为t,则图中能较好反映y与t的函数关系的图象是(B)

(三)面动问题

【例5】如图,等边△ABC,等边△DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合,DE在AB上,DF在AC上,△DEF沿AB向右平移,当点D到达点B时停止.在此过程中,设△ABC,△DEF重合部分的面积为y,△DEF移动的距离为x,则y与x的函数图象大致为(C)

类型三双动点问题

动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更