2025年北师大版中考数学总复习抢分突破13——圆的综合应用.docxVIP

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抢分突破13——圆的综合应用

1.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是☉O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交☉O于点D,点P是☉O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.

(1)求证:CD是☉O的切线;

【解析】(1)连接OD,DB,

∵点E是线段OB的中点,DE⊥AB交☉O于点D,

∴DE垂直平分OB,∴DB=DO.

∵在☉O中,DO=OB,

∴DB=DO=OB,

∴△ODB是等边三角形,

∴∠BDO=∠DBO=60°,

∵BC=OB=BD,且∠DBE为△BDC的外角,

∴∠BCD=∠BDC=12∠

∵∠DBO=60°,

∴∠CDB=30°.

∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°,

∴CD是☉O的切线.

(2)小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值.回答这个确定的值是多少,并对小明发现的结论加以证明

【解析】(2)这个确定的值是12

证明如下:连接OP,如图:

由已知可得:OP=OB=BC=2OE.

∴OEOP=OPOC=

又∵∠COP=∠POE,

∴△OEP∽△OPC,∴PEPC=OPOC=

2.如图,DP是☉O的切线,D为切点,弦AB∥DP,连接BO并延长,与☉O交于点C,与DP交于点E,连接AC并延长,与DP交于点F,连接OD.

(1)求证:AF∥OD;

【解析】(1)延长DO交AB于点H,

∵DP是☉O的切线,

∴OD⊥DP,

∵AB∥DP,

∴HD⊥AB.

∵BC为☉O的直径,

∴∠BAC=90°,

∴AF∥OD;

(2)若OD=5,AB=8,求线段EF的长.

【解析】(2)∵OH⊥AB,AB=8,

∴BH=AH=4,

∴OH=OB2-B

∵BH∥ED,∴△BOH∽△EOD,

∴BHED=OHOD,即4ED=35,解得

∵∠BAC=90°,DH⊥AB,DH⊥DP,

∴四边形AFDH为矩形,

∴DF=AH=4,

∴EF=ED-DF=203-4=8

3.如图,AC是☉O的直径,BC是☉O的弦,点P是☉O外一点,连接PB,AB,

∠PBA=∠C.

(1)求证:PB是☉O的切线;

【解析】(1)连接OB,如图所示,

∵AC是☉O的直径,

∴∠ABC=90°,

∴∠C+∠BAC=90°,

∵OA=OB,

∴∠BAC=∠OBA,

∵∠PBA=∠C,

∴∠PBA+∠OBA=90°,即PB⊥OB,

∵OB为☉O的半径,

∴PB是☉O的切线;

(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,☉O的半径为22,求BC的长.

【解析】(2)∵☉O的半径为22,

∴OB=22,AC=42,

∵OP∥BC,∴∠CBO=∠BOP,

∵OC=OB,∴∠C=∠CBO,∴∠C=∠BOP,

又∵∠ABC=∠PBO=90°,

∴△ABC∽△PBO,

∴BCOB=ACOP,即BC22=42

4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.

(1)求证:BF是☉O的切线;

【解析】(1)连接AE,

∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,∴2∠1=∠CAB.

∵∠BAC=2∠CBF,∴∠1=∠CBF,

∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°,

∵AB是☉O的直径,

∴直线BF是☉O的切线.

(2)若☉O的直径为4,CF=6,求tan∠CBF.

【解析】(2)过C作CH⊥BF于H,

∵AB=AC,☉O的直径为4,∴AC=4,

∵CF=6,∠ABF=90°,

∴BF=AF2-AB

∵∠CHF=∠ABF,∠F=∠F,

∴△CHF∽△ABF,

∴CHAB=CFAF,∴CH4=64+6,∴

∴HF=CF2-CH

∴BH=BF-HF=221-6215=

∴tan∠CBF=CHBH=1254

5.如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.

(1)求证:∠CAD=∠CAB;

【解析】(1)如图1,连接OC,

∵CD是切线,∴OC⊥CD.

∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠1=∠4.

∵OA=OC,∴∠2=∠4,

∴∠1=∠2,即∠CAD=∠CAB.

(2)若ADAB=23,AC=26,求CD

【解析】(2)如图2,连接BC,

∵ADAB=23,∴设AD=2x,AB=3

∵AB是☉O的直径,

∴∠ACB=∠ADC=90°,

∵∠DAC=∠CAB,

∴△ACD∽△ABC,

∴ADAC=ACAB,∴2x

∴x=2(负值舍去),

∴AD=4,∴CD=AC2-