2025年北师大版中考数学总复习考点梳理第二十二讲锐角三角函数及解直角三角形.docxVIP

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第二十二讲锐角三角函数及解直角三角形

知识要点

对点练习

1.特殊角的三角函数值

1.(2024·扬州)计算:|π-3|+2sin30°-(5-2)0.

【解析】|π-3|+2sin30°-(5-2)0

=π-3+2×12

=π-3.

2.直角三角形中的边角关系

(1)三边之间的关系:__a2+b2=c2__.?

(2)两锐角之间的关系:__∠A+∠B=90°__.?

(3)边角之间的关系:sinA=cosB=ac,sinB=cosA=bc,tanA=ab,tanB

2.(教材再开发·北师九下P4习题T1改编)

在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sinA的值为?1213__

3.解直角三角形的应用

(1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线__上方__的叫做仰角,在水平线__下方__的叫做俯角.?

(2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和__水平宽度l__之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__i__表示,即i=?hl__;坡面与__水平面__的夹角叫做坡角,记作α.所以i=?hl__

(3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角.

3.(1)(教材再开发·北师九下P10习题T4改编)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图,他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70m至D点,又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上,则该建筑物AB的高度约为(C)

(精确到1m.参考数据:sin22°≈0.37,tan22°≈0.40,sin58°≈0.85,tan58°≈1.60)

A.28m B.34m C.37m D.46m

(2)如图斜坡AB的坡比为1∶2,竖直高度BC为1米,则该斜坡的水平宽度AC为__2__米.?

【考点一】锐角三角函数

【例1】(2023·内江)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+b-8=12a-36,则sinB的值为?4

【方法小结】此题型是常考题,锐角三角函数一般是在直角三角形中使用,考查了非负数的性质,锐角三角函数的定义及勾股定理逆定理,熟练掌握勾股定理逆定理和直角三角函数的定义,正弦=对边斜边是解题的关键

【例2】(2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(B)

A.2 B.23 C.32

【方法小结】本题考查的是锐角三角函数与勾股定理及逆定理的综合运用,求一个角的锐角三角函数值往往要在直角三角形中进行,因此,锐角三角函数经常与勾股定理或逆定理配合使用.

【例3】(2024·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC=?43__

【考点二】解直角三角形

【例4】(2024·浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,

AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.

(1)求BC的长;

(2)求sin∠DAE的值.

【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴BD=AB2-

∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,∴BC=BD+CD=8+6=14;

(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=12BC=7,∴DE=CE-CD

∵AD⊥BC,∴AE=AD2+DE2=62+12=37,∴

【考点三】锐角三角函数的应用

仰角、俯角:

【例5】(2024·广州模拟)无人机在实际生活中应用越来越广泛.如图所示,某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中点P处,测得地面点A的俯角为60°,测得楼顶点C处的俯角为30°,点P到点A的距离为80米,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内).

(1)填空:∠APC=________度,∠PCB=________度;?

(2)求此时无人机距离地面AB的高度;

(3)求大楼BC的高度.(结果保留根号)

【思路点拨】(1)根据平角的定义和四边形的内角和定理即可得到结论;

(2)延长BC交PQ于点E,过点A作AD⊥PQ,垂足为D,根据题意可得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,然后在Rt△ADP中,利用锐角三角函数的定义求出AD即可;

(3)根据三角函数的定义得到DP的长,从而求出PE的长,再在Rt△PEC中,利用锐角三角函数的定义求出CE的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.

【解析】(1)由题意得,∠APC=180°-60°-30°=90°,

∵