2025年北师大版中考数学总复习考点梳理第二十六讲与圆有关的位置关系.docx

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第二十六讲与圆有关的位置关系

知识要点

对点练习

1.点与圆的位置关系

(1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:

点P在圆外?__dr__;点P在圆上?__d=r__;点P在圆内?__dr__.?

(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__一个__圆.?

(3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的__垂直平分线__的交点.?

1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是(A)

A.2 B.4 C.6 D.8

(2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是(D)

A.已知圆心

B.已知半径

C.已知直径

D.不在同一直线上的三个点

(3)(教材再开发·人教九上P101T2改编)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为__5__.?

2.直线与圆的位置关系

(1)三种位置关系:__相交__、__相切__、__相离__.?

(2)切线的定义、性质与判定:

①定义:和圆有__唯一__公共点的直线.?

②性质:圆的切线__垂直于__过切点的直径.?

③判定:经过半径的外端,并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线.?

(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__相等__,这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角.?

2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是__0≤d2.5__.?

(2)(教材再开发·人教九上P101T3改编)

如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是AB上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为__10__cm__.?

3.三角形的内切圆

(1)定义:与三角形各边都__相切__的圆.?

(2)三角形的内心:三角形__内切圆__的圆心,是三角形三条__角平分线__的交点.?

3.如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=__20__°.?

【考点一】点、直线和圆的位置关系

【例1】点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则☉O的半径是__6.5__cm或2.5__cm__.?

【思路点拨】分点P在☉O外和☉O内两种情况分析;设☉O的半径为xcm,根据圆的性质列一元一次方程并求解,即可得到答案.

【方法小结】考点“点和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断点与圆的位置关系:设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外?dr;点P在圆上?d=r;点P在圆内?dr.

【例2】(2023·衡阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为?245__

【方法小结】考点“直线和圆的位置关系”多以填空题、选择题的形式出现.判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系:设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和☉O相交?dr;②直线l和☉O相切?d=r;③直线l和☉O相离?dr.

【考点二】切线的性质

【例3】(2024·临夏州)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.

(1)求证:AD平分∠CAE;

(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.

【思路点拨】(1)连接OD,先根据切线的性质得到OD⊥CE,再证明OD∥AE得到∠ODA=∠EAD,结合OD=OA,进而判断AD平分∠CAE;

(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,利用勾股定理列出方程,然后解方程即可.

【解析】(1)连接OD,如图,

∵直线l与☉O相切于点D,∴OD⊥CE.

∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,

∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE.

(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,

在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,

∴r2+32=(r+1)2,

解得r=4,即☉O的半径为4.

【方法小结】考点“切线的性质”,熟练掌握定理及性质是解题的关键.注意:若出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,现垂直.

【考点三】切线的判定

【例4】(2024·甘肃)如图,AB是☉O的直径,BC=BD,点E在AD的延长线上,

且∠ADC=∠AEB.

(1)求证:BE是☉O的切线;

(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.

【解析】(1)连接BD,OC,OD,

∵BC=BD,∴BC=BD.

∵OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上,∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°.

∵