2025年北师大版中考数学总复习微专题6二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值.docxVIP

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微专题6二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值

模型1抛物线中线段长度最大问题

特点

过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段

图示

M是动点,MN∥y轴

结论

①MN=yM-yN;②用二次函数的顶点求线段最值

针对训练

1.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,-94)两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求线段PD的最大值及此时点P的坐标;

【解析】(1)将A(0,3)和B(72,-94)代入y=-x2+bx+

得c=3-(

∴该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;

(2)设直线AB的表达式为y=kx+n,把A(0,3)和B(72,-9

得n=372

∴直线AB的表达式为y=-32x

设点P的坐标为(a,-a2+2a+3),则D点坐标为(a,-32a

∴PD=(-a2+2a+3)-(-32a+3)=-(a-74)2+

∵-10,∴当a=74时,PD有最大值为49

∴P的坐标为(74,5516

模型2抛物线中图形的周长最大问题

特点

过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形

图示

M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC

结论

①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定;

②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题

针对训练

2.综合与探究

如图,抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点.

(1)求点A,B和C的坐标;

(2)如图,当点P在直线BC下方的抛物线上时,过点P作PE⊥x轴于点E交直线BC于点G,作PF⊥BC于点F,当△PFG的周长最大,求点P的坐标.

【解析】(1)把y=0代入y=x2-3x-4中,得x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4,

∴点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(4,0),

把x=0代入y=x2-3x-4中,得y=-4.

∴点C的坐标是(0,-4);

(2)设直线BC的函数表达式为y=kx+b.

∵点B(4,0),点C(0,-4),

∴-4=b0=4

∴直线BC的函数表达式为y=x-4,

∵∠BOC=90°,点B(4,0),点C(0,-4),∴OB=OC=4.

∴∠OBC=∠OCB=180°-

设点P的坐标为(m,m2-3m-4).

∵PE⊥x轴于点E交直线BC于点G,

∴PG∥y轴,点G的坐标为(m,m-4).

∴∠PGF=∠OCB=45°.

∵PF⊥BC于点F,∴∠PFG=90°.

∴△PFG是等腰直角三角形;

∴当△PFG的周长最大时,斜边PG最大.

∵PG=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4.

∵-10,∴当m=2时,PG取得最大值,

当m=2时,PE=m2-3m-4=22-3×2-4=-6.

∴点P的坐标是(2,-6).

模型3抛物线中线段的比值最大问题

特点

过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比

图示

M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD

结论

①△MND∽△OCD→MDOD=MNOC;②OC是定值,故MN最大时,

针对训练

3.已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连接PC,PB,PO,PO交直线BC于点E,设PEOE=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值

【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,

∴设y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入,

得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1,

∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;

(2)如图,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,

∴△PEH∽△OEC,∴PEOE=PH

∵PEOE=k,OC=3,∴k=1

设直线BC的解析式为y=mx+n,

∵B(3,0),C(0,3),

∴3m+n

∴直线BC的解析式为y=-x+3.

设点P(t,-t2+2t+3),则H(t,-t+3),

∴PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,

∴k=13(-t2+3t)=-13(t-32)2

∵-13

∴当t=32时,k取得最大值34,此时,P(32,

模型4抛物线中三角形面积最大问题

特点

过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形

图示

M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=12MN·AO

结论

MN最大时,S△MAC最大

S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD

S△ABC=1