2025年北师大版中考数学总复习微专题12解直角三角形实际应用之四大模型.docxVIP

8-

PAGE

微专题12解直角三角形实际应用之四大模型

【模型1】独立型

特点

实物的背景一般为单一的直角三角形

原型

实际问题抽象出单独一个直角三角形,测得∠A和AC,计算可求出BC

【等量关系】BC=AC·tanA

变式

【等量关系】

①AE=CD·tanα,②AC=AE+CE

针对训练

1.(2023·长春)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即

∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为(D)

A.32sin25°米 B.32cos25°米 C.32sin25°米 D.32

2.如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α要满足60°≤α≤75°,现有一架长5.5m的梯子.

(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)?

(2)当梯子底端距离墙面2.2m时,α等于多少度(结果保留小数点后一位)?此时人是否能够安全使用这架梯子?

(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73,sin23.6°≈0.40,cos66.4°≈0.40,

tan21.8°≈0.40)

【解析】(1)由题意得,当α=75°时,使用这架梯子可以安全攀上最高的墙,

在Rt△ABC中,sinα=ACAB,∴AC=AB·sinα≈5.5×0.97≈5.

答:使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3m的墙;

(2)在Rt△ABC中,cosα=BCAB=2.25.5=0

则α≈66.4°,∵60°66.4°75°,

∴此时人能够安全使用这架梯子.

【模型2】背靠背型

特点

两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边两侧

原型

若三角形中有已知角时,则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形

求解,其中公共边CD是解题的关键

【等量关系】CD为公共边,AD+BD=AB

变式

【等量关系】如图①,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如图②,CD=EF,

CE=DF,AD+CE+BF=AB

针对训练

3.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,

∠ABC=27°,BC=44cm,则高AD约为(B)

(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)

A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm

4.(2024·甘肃)习近平总书记于2021年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6m,点C与点E相距182m(点C,H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin53°≈45

cos53°≈35,tan53°≈4

【解析】连接DF交AH于点G,

由题意得:CD=EF=GH=1.6m,DF=CE=182m,DF⊥AH,

设DG=xm,∴FG=DF-DG=(182-x)m,

在Rt△ADG中,∠ADG=45°,

∴AG=DG·tan45°=xm,在Rt△AFG中,∠AFG=53°,

∴AG=FG·tan53°≈43(182-x)m,∴x=43(182-

解得x=104,

∴AG=104m,∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m),

∴风电塔筒AH的高度约为105.6m.

【模型3】母子型

特点

两个直角三角形有一条公共的直角边,另两条直角边在公共边同侧且共线

原型

若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键

【等量关系】BC为公共边,如图①,AD+DC=AC;如图②,DC-BC=DB

变式

模型演变1:【等量关系】如图③,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;

如图④,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE.

模型演变2:【等量关系】如图⑤,BE+EC=BC;

如图⑥,EC-BC=BE;

如图⑦,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG.

模型演变3:【等量关系】如图⑧,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG;

如图⑨,BC=FG,BF=C