浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 Word版.docx

余姚中学2023学年第二学期期中检测高一数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，则（）

A. B. C.0 D.1

2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）

A. B.2 C. D.

3.在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（）

A. B. C. D.

4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生

C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和至多有1名男生

5.已知点，，．则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（）

A. B. C. D.

7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）

A B.

C. D.

8.在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.数据，，，，，平均数和中位数相同

B.数据，，，，，，，，众数为3

C.有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

D.甲组数据的方差为4，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组

10.在中，内角、、所对的边分别、、，，下列说法正确的是（）

A.若，则

B.外接圆的半径为

C.取得最小值时，

D.时，值为

11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（）

A.存在点P，使得平面 B.对任意点P，平面平面

C.两条异面直线和所成的角为 D.点到直线的距离为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.

13.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______.

14.已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中虚数单位.

（1）求；

（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图．

（1）求图中m值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；

（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）

17.在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.

（1）求角；

（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；

（3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.

（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）

18.三棱台中，若面，，，，，分别是，中点.

（1）求与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成成角的余弦值；

（3）求与平面所成角的正弦值.

19.如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，将沿折起，点在线段上．

（1）若，求证平面；

（2）若平面