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余姚中学2023学年第二学期期中检测高一数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则()
A. B. C.0 D.1
2.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,且,,则该平面图形的高为()
A. B.2 C. D.
3.在平行四边形中,相交于点,点在线段上,且,则()
A. B. C. D.
4.某小组有2名男生和3名女生,从中任选2名学生去参加唱歌比赛,在下列各组事件中,是互斥事件的是()
A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生
C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和至多有1名男生
5.已知点,,.则在上的投影向量为()
A. B. C. D.
6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家,他在著作《数书九章》中提出,已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”,即在中,分别为内角所对应的边,其公式为:若,,,则利用“三斜求积术”求的面积为()
A. B. C. D.
7.已知某样本的容量为50,平均数为36,方差为48,现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将24记录为34,另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为,则()
A B.
C. D.
8.在中,,,,为中点,若将沿着直线翻折至,使得四面体的外接球半径为,则直线与平面所成角的正弦值是()
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是()
A.数据,,,,,平均数和中位数相同
B.数据,,,,,,,,众数为3
C.有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30
D.甲组数据的方差为4,乙组数据为,,,,,则这两组数据中较稳定的是乙组
10.在中,内角、、所对的边分别、、,,下列说法正确的是()
A.若,则
B.外接圆的半径为
C.取得最小值时,
D.时,值为
11.如图,在棱长为4的正方体中,E,F,G分别为棱的中点,点P为线段上的动点(包含端点),则()
A.存在点P,使得平面 B.对任意点P,平面平面
C.两条异面直线和所成的角为 D.点到直线的距离为4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯,某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,则三人恰好参加同一个社团的概率为______.
13.如图,在中,,,为上一点,且满足,若,,则的值为______.
14.已知正方体的棱长为3,动点在内,满足,则点的轨迹长度为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知为复数,为实数,且为纯虚数,其中虚数单位.
(1)求;
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限,求实数的取值范围.
16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣,举办了一场数学趣味知识答题比赛活动,共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩,从中抽取100名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计.所有学生的得分都不低于60分,将这100名学生的得分进行分组,第一组,第二组,第三组,第四组(单位:分),得到如下的频率分布直方图.
(1)求图中m值,并估计此次答题活动学生得分的中位数;
(2)根据频率分布直方图,估计此次答题活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.(以每组中点作为该组数据的代表)
17.在①;②;③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.
(1)求角;
(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围;
(3)在(2)条件下,若边中点为,求中线的取值范围.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
18.三棱台中,若面,,,,,分别是,中点.
(1)求与所成角的余弦值;
(2)求平面与平面所成成角的余弦值;
(3)求与平面所成角的正弦值.
19.如图①,在矩形中,,为的中点,如图②,将沿折起,点在线段上.
(1)若,求证平面;
(2)若平面
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